浅谈扩展欧几里得算法

什么是拓展欧几里得？简单的说，就是求关于x,y的方程 ax + by = gcd(a,b) 的所有整数解

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现在我们来解决四个问题

• 什么是裴属定理，如何证明裴属定理？

• 怎么用扩展欧几里得来求ax + by = gcd(a,b) 的特解？

• 怎么求由特解推出其他的所有解？

• 扩展欧几里得的三大应用

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一、裴蜀定理内容即证明

内容

设a, b是不全为零的整数，则存在整数x, y 使得 ax + by = gcd(a, b).

证明：

1. a, b中假如有一个为0，则上述定理完全吻合，如a = 0, 则gcd(a, b) = b , 显然成立

2. 若a, b 都不等于0

   设gcd(a, b) = d,则d != 0

   等式两边同时除以d，得：

   a₁x + b₁y = 1

   再利用辗转相除法：gcd(a, b) --> gcd(b, a % b) --> ……

   设模出来的余数叫做x, 则有：

   gcd(a₁, b₁) = gcd(b₁, r₁) = gcd(r₁, r₂) = …… = gcd(r_n-1, r_n) = 1

   把辗转相除法中的运算展开，做成带余数的除法，得

   • a₁ = x₁b + r₁

   • b₁ = x₂r₁ + r₂

   • r₁ = x₃r₂ + r₃

     ……

   • r_n-3 = x_n-1r_n-2 + r_n-1

   • r_n-2 = x_nr_n-1 + r_n

   • r_n-1 = x_n+1r_n

   不妨令辗转相除法在除到互质的时候退出则 r_n = 1 , 由倒数第二行得

   • r_n-2 = x_nr_n-1 + 1 ---> 1 = r_n-2 - x_nr_n-1

   由倒数第三行得：r_n-1 = r_n-3 - x_n-1r_n-2带入上式

   得：1 = (1 + x_nx_n-1)r_n-2 - x_nr_n-3

   采取同样的方法，逐个消去r_n-2,……, r₁

   最终会得到1 = f(x)a₁ + g(x)b₁

   其中f(x)和g(x) 是关于x的函数

   设f(x) = x, g(x) = y，则可以得到1 = a₁x + b₁y, 得证!

   正常人都不喜欢看上面写的奇奇怪怪的推导，那就看下面我这个具体的推导叭，这里是假设到 r4 = 1，然后往前推导滴

   

二、求特解

我们都知道，欧几里得公式可以由这个式子表达

gcd(a, b) = gcd(b, a % b)

通过这个式子，我们可以不断递推到b = 0， 此时a即为a和b的最大公约数

现在我们对这个式子进行展开，看看有什么好玩的嘛

gcd(a, b) = a * x1 + b * x2

gcd(b, a % b) = b * x2 + (a % b) * y2

其中a % b = a - (a / b) * b

故由第一行的欧几里得公式得：

a * x1 + b * y1 = b * x2 + {a - (a / b) * b}y2

化简得a * x1 + b * y1 = a * y2 + b * {x2 - (a / b) * y2}

根据待定系数法得到

• x1 = y2

• y1 = x2 - (a / b) * y2

也就是说，如果有了gcd(b, a % b)的解x2, y2就可以推出gcd(a, b)的解x1, y1

那么这就和求gcd的过程一样，一直推到最后x = 1， y = 0，就可以回溯回去，得到gcd(a, b)的特解x1, y1

特解其实是最小的一个解

二、怎么利用特解推出其他所有整数解

先说结论：

[x = x0 + k * frac{b}{gcd(a,b)} ]

[y = y0 - k * frac{a}{gcd(a,b)} ]

任意的x + y = x0 + y0

x0, y0就是方程的特解

对于a * x + b * y = g来说，让x增加b/gcd,让y增加a / gcd

这样就相当于加a * b / gcd，减去a * b / gcd,一加一减，最终不变

三、扩展欧几里得三大应用

• 用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c

如果 c % gcd(a, b) == 0，即c 是 gcd(a, b)的整数倍，则方程有解，且解就在上面的基础上乘以$$frac{c}{gcd(a, b)}$$即可

void e_gcd(int a, int b, int &gcd, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        gcd = a;
    }
    else
    {
        e_gcd(b, a % b, gcd, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}

int main(){
    int a, b, x, y, gcd;
  	cin>>a>>b;
    e_gcd(a, b, gcd, x, y);
    cout<<x<<' '<<y<<endl;
    cout<<gcd<<endl;
    return 0;
}

• 用扩展欧几里得算法求解模线性方程ax≡b (mod n)

  对于模线性方程ax≡b (mod n)可以化简为ax + ny = b，设d = gcd(a, n) 当且仅当b % d == 0时有解，且有d个解

  当b % d == 0时，设ax + ny = d,的特解为x,y

  等式两边同时乘以(frac{b}{d})，则方程变成(axfrac{b}{d} + nyfrac{b}{d} = b)

  则原方程ax + ny = b的解为(x' = x*frac{b}{d},y' = y*frac{b}{d})

  故ax≡b (mod n)的特解为 x0 = x * (b / d) % n

  d个解为xi= x0 + i*(n/d) mod n，{i = 0……n-1}

  解的间隔为n/d

void exgcd(int a, int b, int &gcd, int &x, int &y)
{
    if (b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        gcd = a;
    }
    else{
        exgcd(b, a % b, gcd, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}

bool modular_linear_equation(int a, int b, int n){
    int x, y, x0, gcd;
    exgcd(a, n, gcd, x, y);
    int d = gcd;//d为gcd(a, n)
    if(b % d)return false;//无解
    x0 = x * (b/d) % n;//特解
    for(int i = 0; i < d; ++i)cout<<x0 + i * (n / d)<<endl;//所有的解
    return true;
}

• 用欧几里德算法求乘法逆元：

什么叫乘法逆元？

ax ≡ 1 (mod p)

这里我们称x为a关于p的逆元

上述式子可以还原为：ax + py = 1,根据上面讲的扩展欧几里得算法，我们知道gcd(a, p) = 1时才有解，通过扩展欧几里得算法得到的解x₀,利用x₀%p就可以得到最小解

为什么呢？

因为通解为x = x₀ + p * k

那么，也就是说， a 关于 p 的逆元是一个关于 p 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，它是 a 关于p 的逆元，而最小的肯定是在（0 , p）之间的，而且只有一个，这就好解释了。

但是，由于问题的特殊性，有时候我们得到的特解 x₀ 是一个负数，还有的时候我们的 p 也是一个负数这怎么办？

当 p 是负数的时候，我们取 p 的绝对值就行了，当 x₀ 是负数的时候，x₀% p 的结果仍然是负数（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x₀ 对abs(p) 取模，然后结果再加上abs(p) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 p 的乘法逆元：

int a, b, x, y, gcd, ans, p;

void exgcd(int a, int b, int &gcd, int &x, int &y)
{
    if (b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        gcd = a;
    }
    else{
        exgcd(b, a % b, gcd, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}

inline int cal(int a, int p){
    exgcd(a, p, gcd, x, y);
    if(1 % gcd != 0)return -1;
    x = x * 1 / gcd;
    p = abs(p);
    ans = x % p;
    if(ans <= 0)ans += p;
    return ans;
}