CF1383C - String Transformation 2
题目大意
给定串(A,B),字符集为前20个小写字母
每次操作取(A)中同种字符(x)的一个子集,全部改成另一个字符(y)
求最少操作次数,使得(A)变成(B)
分析
图论模型
容易发现,每个(A_i ightarrow B_i)可以看做一条有向边,操作也是如此
那么问题实际上就是:
求一个最少条边的有向图,每条边有一个编号(i)
使得对于每一对(A_i ightarrow B_i),均存在一个编号递增的有向路径
暴力求解
先对于(A_i ightarrow B_i)建立有向图
考虑对于每一个弱连通块,最后形成的图中这些点也必然构成弱连通块
那么一定可以在最终的弱连通块中提取一棵生成树(忽略边的方向)
又可以对于生成树按照边的拓扑序排列,构成一条长链,这样的构造一定不劣
那么分析可行的方案:
1.对于每个弱连通块,先定一条链
2.对于链上的反边所构成的连通块,只需要考虑对于每个新的连通块生成一条链即可
由于范围极小,只有20个点,可以直接状压这条链
对于剩余的连通块,在计算答案时可以考虑对于每个连通块中编号最小的点不算入答案
由于反图的边都是逆着当前的拓扑序的,所以编号最小的点就是没有边连向前面的点
也就是(dp)最少的,有反边连入的点的个数,复杂度为(O(2^{20}cdot 20))
不知道有没有可能写多项式复杂度的
const int N=30,M=1e5+10,INF=1e9+10;
int n;
char s[M],t[M];
int dp[1<<20];
int G[N][N],E[N],I[N];
int vis[N],C;
void dfs(int u){
if(vis[u]) return;
vis[u]=1,I[C++]=u;
rep(i,0,19) if(G[u][i] || G[i][u]) dfs(i);
}
int Solve(){
int A=(1<<n)-1;
rep(i,0,A) dp[i]=INF;
dp[0]=0;
rep(S,0,A) rep(i,0,n-1) if(~S&(1<<i))
cmin(dp[S|(1<<i)],dp[S]+!!(E[i]&S));
return dp[A]+n-1;
}
int main(){
rep(_,1,rd()) {
rd(),n=0;
scanf("%s%s",s+1,t+1);
memset(G,0,sizeof G),memset(vis,0,sizeof vis);
for(int i=1;s[i];++i) {
int x=s[i]-'a',y=t[i]-'a';
if(x==y) continue;
G[x][y]=1;
}
int ans=0;
rep(u,0,19) if(!vis[u]) {
C=0,dfs(u);
rep(i,0,C-1) {
E[i]=0;
rep(j,0,C-1) E[i]|=G[I[i]][I[j]]<<j;
}
n=C,ans+=Solve();
}
printf("%d
",ans);
}
}