状态空间的离散时间模型

离散时间模型可表示为如下形式：

$mathbf{x}_{k+1} = oldsymbol{phi}_k mathbf{x}_k + mathbf{w}_k$

$mathbf{y}_k = mathbf{B}_kmathbf{x}_k $

其中：

$mathbf{x}_k$: $t_k$时刻的状态向量

$oldsymbol{phi}_k$: 状态转换矩阵

$mathbf{w}_k$: 零均值时间不相关序列

注意：对同一时刻$t_k$，状态向量各元素$mathbf{w}_1,mathbf{w}_2ldots$一般是相关的。将$mathbf{w}_k$的协方差矩阵记为$mathbf{Q}_k$。

如果离散时间模型是通过对连续时间模型采样得到的，我们需要求解连续时间状态方程以得到离散时间模型中的各参数（$oldsymbol{phi}_k,mathbf{w}_k,mathbf{Q}_k$等）。

连续过程方程如下：

$dot{mathbf{x}}=mathbf{Fx} + mathbf{Gw}$

设采样时间点为$t_0, t_1 ldots, t_k, t_{k+1} ldots$，可得方程在$t_{k+1}$时刻的解为*：

$mathbf{x}(t_{k+1}) = oldsymbol{phi} (t_{k+1}, t_k)mathbf{x}(t_k) + int_{t_k}^{t_{k+1}} oldsymbol{phi}(t_{k+1}, au) mathbf{G}( au) mathbf{w}( au)d au$

*现代控制工程.第四版.Katsuhiko Ogata.708.

将这个式子和前面离散时间模型的式子对比可看出，两者具有相似的形式，即$ oldsymbol{phi}_k$就是$oldsymbol{phi} (t_{k+1}, t_k)$，是从step$t_k$到step$t_{k+1}$的状态转换矩阵；$mathbf{w}_k$是在${t_k,t_{k+1}}$间隔内由输入端白噪声驱动的响应。

$w_k$的协方差矩阵可计算如下：

$mathbf{Q}_k=E[mathbf{w}_kmathbf{w}_k^T]$

$=Eig{   ig[ int_{t_k}^{t_{k+1}} oldsymbol{phi}(t_{k+1}, u) mathbf{G}(u) mathbf{w}(u)du ig]  ig[ int_{t_k}^{t_{k+1}}oldsymbol{phi}(t_{k+1},v) mathbf{G}(v) mathbf{w}(v)dv ig]^T   ig}$

$=int_{t_k}^{t_{k+1}} int_{t_k}^{t_{k+1}} oldsymbol{phi}(t_{k+1}, u)mathbf{G}(u)E[mathbf{w}(u)mathbf{w}^T(v)]mathbf{G}^T(v)oldsymbol{phi}^T(t_{k+1},v)dudv$

我们用下面的系统作例子。

$w(t) longrightarrow igg[frac{sqrt{2sigma ^2eta}}{s+eta}igg]  longrightarrow igg[frac{1}{s}igg] longrightarrow y$

上图中，$w(t)$是单位白噪声，经过系统$igg[frac{sqrt{2sigma ^2eta}}{s+eta}igg]$之后得到Gauss Markov process $x_2$，再经过积分$igg[frac{1}{s}igg]$后得到integrated Gauss Markov process $x_1$，$x_1$同时也是系统最终输出的观察量$y$。

连续模型如下：

$left[egin{matrix}dot{x_1}\dot{x_2}end{matrix} ight] = left[egin{matrix}0&1\0&-etaend{matrix} ight] left[egin{matrix}x_1\x_2end{matrix} ight] + left[egin{matrix}0\sqrt{2sigma^2eta}end{matrix} ight]w(t)$

$y=left[egin{matrix}1&0end{matrix} ight]left[egin{matrix}x_1\x_2end{matrix} ight]$