一、Bash博弈
1、问题模型：只有一堆n个物品，两人轮流从这堆物品中取物，最多取m个，最后取光者胜。
2、解决思路：当n=m+1时，由于一次最多取m个，无论先取者拿走多少个，后取者都能一次拿走剩余的物品，后者取胜，所以当一方面对n%(m+1)==0的时候，其面临的是必败局势。所以当n==(n+1)*r+s（r为任意自然数，s<=m）时，如果先取者要拿走s个物品，后取者拿走x（x<=m）个物品，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保留给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。
3、变形：条件不变，改为最后取光的人输。
解决方法：当(n-1)%(m+1)==0时，后手胜利。
例题：Bash的游戏
#define _MAX 10000
int a[_MAX];
int b[_MAX];
int bash(int N, int K)
{
if (N % (K + 1) == 0)
{
return 2;
}
return 1;
}
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
for (int i = 0; i < T; i++)
{
scanf("%d%d", a + i, b + i);
}
for (int i = 0; i < T; i++)
{
if (bash(a[i], b[i]) == 1)
{
printf("A
");
}
else
{
printf("B
");
}
}
return 0;
}二、威佐夫博弈
1、问题模型：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆取出同样多的物品，规定每次取出一个，多者不限，最后取光者得胜。
2、解决思路：A:设（ai,bi）(ai<=bi,i=0,1,2,3.....,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0,0）,那么甲输了，这种局势我们称为其一局势。
奇异局势的前几项是：(0,0)、(1,2)、（3,5）、（4,7）、（6，10）、（8,13）、（9,15）、（11,18）、（12,20）
任给一个局势(a,b),如下公式判断它是不是奇异局势：
ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，…,n 方括号表示取整函数）。（证明见百度百科）也就是黄金分割点。
3、满足上述公式的局势性质：
（1）任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
（2）任何操作都可以把奇异局势变为非奇异局势。
若只改变奇异局势（ak,bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。
（3）采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。
假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b – bk个物体，即变 为奇异局势；如果 a = ak ， b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak – ab – ak个物体,变为奇异局势（ ab – ak , ab – ak+ b – ak）；如果a > ak ，
b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a – ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）,从第二堆里面拿走 b – bj 即可； 第 二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b – aj 即可。
4、结论
两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，后拿者必胜。
例题：威佐夫博弈
int main()
{
int t, a, b, m, k;
scanf("%d", &t);
while (t--)
{
scanf("%d%d", &a, &b);
if (a > b)
{
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
}
m = b - a;
k = (int)(m * (1 + sqrt(5)) / 2.0);
//m = ? * a
//k = m / ?
//?:黄金分割数
//如果a == k，则为后手赢，否则先手赢（奇异局）
printf("%s
", a == k ? "B" : "A");
}
return 0;
}威佐夫博弈 V2（大数）
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL tmp[3] = {618033988,749894848,204586834};
LL MOD = 1000000000;
int main()
{
int T;
LL m, n;
cin>>T;
while(T--)
{
cin>>m>>n;
if(m < n)
swap(n, m);
LL cha = m - n;
LL ta = cha/MOD, tb = cha%MOD;
LL tp = tb*tmp[2];
tp = ta*tmp[2] + tb*tmp[1] + tp/MOD;
tp = ta*tmp[1] + tb*tmp[0] + tp/MOD;
tp = cha + ta*tmp[0] + tp/MOD;
if(tp == n)
puts("B");
else
puts("A");
}
return 0;
}三、Nim博弈
1、问题模型：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取人一多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
2、解决思路：
用（a,b,c）表示某种局势，显然(0,0,0)是第一种局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。
第二种是（0，n,n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致(0,0,0)。
搞定这个问题必须把必败态炸出：（a,b,c）是必败态等价于a^b^c==0（^表示异或运算）
3、推广：
如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),那么如何变成奇异局势呢？
假设a<b<c,我们只要将c变成a^b即可，因为a^b^(a^b)=(a^a)^(b^b)=0^0=0。要将c变成a^b，只要c-(a^b)。
例题：Nim的游戏
int main(int argc, const char * argv[])
{
int N, stone, tag = 0;
scanf("%d", &N);
while (N--)
{
scanf("%d", &stone);
tag ^= stone;
}
//tag为0则为后手赢，否则为先手赢
printf("%c
", tag == 0 ? 'B' : 'A');
return 0;
}