Leetcode#53 Maximum Subarray

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方法I：动态规划

另sum[i]表示从i开始的最大子串和，则有递推公式：sum[i] = max{A[i], A[i] + sum[i+1]}

因为递推式只用到了后一项，所以在编码实现的时候可以进行状态压缩，用一个变量即可

代码：

int maxSubArray(int A[], int n) {
  int sum = A[n - 1];
  int maxSum = sum;

  for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
    sum = max(A[i], sum + A[i]);
    maxSum = max(maxSum, sum);
  }

  return maxSum;
}

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

方法II：扫描法（姑且这么称呼吧）

这是网上比较流行的一种做法，本质上还是动态规划+状态压缩。参考这篇博文

代码：

int maxSubArray(int A[], int n) {
  if (n == 0)
    return 0;

  int max_ending_here = A[0];
  int max_so_far = A[0];
  for(int i = 1; i < n; ++i)
    {
      if (max_ending_here < 0)
        // So far we get negative values, this part has to be dropped
        max_ending_here = A[i];
      else
        // we can accept it, it could grow later
        max_ending_here += A[i];

      max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here);
    }
  return max_so_far;
}

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

方法III：分治法

假设求A[l..r]的最大子串和

首先将其分成两半A[l..m]和A[m+1..r]，其中m=(l+r)/2，并分别求递归求出这两半的最大子串和，不妨称为left，right。如下图所示：

A[l..r]的连续子串和可能出现在左半边（即left），或者可能出现在右半边（即right），还可能出现在横跨左右两半的地方（即middle），如下图橙色部分所示：

当然，middle完全有可能覆盖left或right，它可能的范围入下图所示：

那么，如何求middle？貌似没有什么简单的方法，只能从中间向两遍扫，也就是把上图种的范围扫一遍。具体怎么扫呢？见方法I和方法II

是不是突然觉得很坑爹？既然知道最后求middle要扫一遍，还不如一开始就从l到r扫一遍求max得了，还费什么劲儿求left和right呢？求left和right的作用仅限于缩小扫描的范围。

代码：

int diveNConquer(int A[], int l, int r) {
  if (l == r)
    return A[l];

  int m = (l + r) / 2;
  int left = diveNConquer(A, l, m);
  int right = diveNConquer(A, m + 1, r);
  int middle = A[m];
  for (int i = m - 1, tmp = middle; i >= l; i--) {
    tmp += A[i];
    middle = max(middle, tmp);
  }
  for (int i = m + 1, tmp = middle; i <= r; i++) {
    tmp += A[i];
    middle = max(middle, tmp);
  }

  return max(middle, max(left, right));
}

int maxSubArray(int A[], int n) {
  return diveNConquer(A, 0, n - 1);
}

分析一下时间复杂度，设问题的工作量是T(n)，则有T(n) = 2T(n/2) + O(n)，解得T(n) = O(nlogn)。看看，效率反而低了不少。