背包问题总结

 我对于dp的使用仍然很不熟练，总结一下各种背包梳理一下。

01背包

void Knapsack_01(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=W;j>=w[i];j--){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    printf("%d
",dp[W]);
}

完全背包

void Knapsack_prefect(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=w[i];j<=W;j++){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    printf("%d
",dp[W]);
}

w很大的01背包

void BigW_01(){
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    dp[0]=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=MAX_N*MAX_V;j>=v[i];j--){
            dp[j]=min(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=MAX_N*MAX_V;i++)if(dp[i]<=W)ans=i;
    printf("%d
",ans);
}

w很大的完全背包

void BigW_prefect(){
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    dp[0]=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=v[i];j<=MAX_N*MAX_V;j++){
            dp[j]=min(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=MAX_N*MAX_V;i++)if(dp[i]<=W)ans=i;
    printf("%d
",ans);
}

多重背包

复杂度O（nWlog(m))。

算法思想是可以利用1,2,4，…，2^k+a来表示一个数，因此，可以把m个相同物品看作是log(m)种不同的物品做01背包求解。

总之m_i=1+2+4+…+a(0<=a<2^k+1)

这样问题就转化为了nlog(m)个物品求01背包。

本题还有另一种复杂度为O(nW)的做法，利用了双端队列滑动最小值的思想，反正我是没看懂。之后看懂了补上。

void knapsack_multi(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<n;i++){
        int num=m[i];
        for(int k=1;num>0;k<<=1){
            int mul=min(k,num);
            for(int j=W;j>=w[i]*mul;j--){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]*mul]+v[i]*mul);
            }
            num-=mul;
        }
    }
    printf("%d
",dp[W]);
}