CAGD: 第十五章 三角Bézier曲面1

    第十五章 三角Bézier曲面

在第十章、第十一章和第十二章，我们介绍了双三次Hermite曲面、Bézier曲面和B样条曲面等。无论其构成方式如何，都是定义在矩形参数域上，并且给定的数据信息具有矩形拓扑结构，曲面片具有四条边界。然而，在实际工程应用中，并不是所有给定的数据信息都具备矩形拓扑结构，或者说，并非所有的形体表面都仅能通过使用四边曲面片来表示。那么就需要引入三角曲面片。三角曲面片和四边曲面片除了拓扑结构不同外，并没有其他本质上的区别。在四边曲面中，参数和参数域由矩形区域定义，在三角曲面中，其参数则由重心坐标给出。

三角域上的多项式曲面首先由de Casteljau于1959年引入。以另外的形式，比方Lagrange形式广泛用于有限元分析之中。其最常用的方法是Clough-Tocher方法和五次二十一参数插值方法。二十世纪七十年代，出现了许多三角曲面插值方法，如BBG插值方法、三角Bézier曲面片、多元B样条、Box样条等。三角曲面片技术主要用于非规则形体的建模和散乱数据的数值处理，象实验数据处理、地形图生成当中的无噪声插值、有噪声拟合等等。在三角曲面技术中，应用组为广泛的是三角Bézier曲面片，它是按照定义在规则三角剖分上的二元Bernstein基函数来构造曲面的。本章将主要就这种三角曲面片及其相关技术予以介绍和讨论。

14.1 重心坐标

在平面上可以建立各种坐标系，使其几何点与代数有序数组一一对应。当选用笛卡尔坐标系时，便得到了常用的直角坐标。如果选择仿射坐标系，则引入点的重心坐标。

给定平面上不共线的三个点，那么可构成一三角形，从而平面上任一点可表示为：

（14.1.1）

三元组称为点相应于三角形的重心坐标，满足条件：

（14.1.2）

重心坐标的物理意义是质心，它与直角坐标的关系是：

可通过三角形的有向面积计算如下：

（14.1.3）

其中：

按其字母顺序，顺时针旋转为正，逆时针旋转为负。

重心坐标的几何意义除了是有向面积比之外，还描述了过点

的直线所产生的一些比例关系，如图14.2所示。

此外，按照重心坐标中分量的符号将平面分成七个区域（图14.3）。特别，三角形三个顶点的重心坐标分别是：。

重心坐标最为重要的性质之一是仿射不变性：如果三角形和点经过仿射变换变成另一个三角形和点，那么点相对于的重心坐标等于点相应于三角形的重心坐标。

证明 设是一仿射变换，则，其中是三阶方阵，是列向量。则：

这有两层含义，其一是在同一平面进行仿射变换，将三角形变换成；其二是在两张平面间进行仿射变换，将三角形变换成另一张平面内的三角形。

如果我们考虑定义在三角形上的一个二元函数，那么我们面临的问题便是：怎样进行微分运算。此时，并没有几何解释。因此，这里引入方向导数。设是平面内任意两点，那么便定义了平面内一方向。方向的重心坐标满足条件：

（14.1.4）

为了区别于点的重心坐标，方向的重心坐标称为零心坐标。函数关于方向的方向导数则为：

（14.1.5）

因此，今后凡处理用重心坐标表示的函数时，我们用方向导数代替偏导数。当然，方向不必是单位长度。

14.2 Lagrange插值

我们知道，一元多项式的最重要的应用之一就是插值。那么，在一三角形上怎样进行多项式插值呢？为此，就需要将一元情形下的节点序列推广到二元情形。

令，那么点便构成三角形的一个分割，称为节点（图14.4）。在节点处给定数据，我们的目的是构造一次二元多项式，使其满足条件：

这里，由于，所以给定的数据共有─称之为三角数。

要求的二元多项式表示如下：

（14.2.1）

其中

（14.2.2）

为了证明其正确性，只需验证即可。由此二元多项式构成了三角形上次二元多项式空间的基底，称为二元Lagrange基函数。

插值多项式的计算可采用以下的递推公式：

（14.2.3）

那么，。

沿着的边界，插值公式（14.2.1）便退化为一元Lagrange插值公式。当时，便得到线性插值。

14.3 三角Bézier曲面的定义及性质

14.3.1 二元Bernstein多项式

 

三角域上的次Bernstein多项式定义如下：

（14.3.1）

我们约定，当时，。

由于二元Bernstein多项式是三项式展开式中的各项，因此具有归一性：

（14.3.2）

当时，。当时，取得最大值。

14.3.2 三角Bézier曲面的定义与性质

给定三角域上的分割，及节点处的数值，二元函数：

（14.3.3）

称为定义在三角形上的次三角Bézier曲面，其中称为曲面的Bézier纵标，有空间点构成的分片线性曲面BL叫做的控制网格或Bézier网。例如，三次三角Bézier曲面的Bézier网如图14.4所示。

三角Bézier曲面具有以下重要性质：

1. 凸包性。位于定义它的Bézier网的凸包之中，即：

2. 角点性质。曲面通过Bézier网的三个角点，即：

在处的切平面为点确定的平面，在处的切平面由点所确定，在处的切平面则由点确定。

3. 边界性质。若记，则：在边界上是一次Bézier曲线，即：

对于边界、也有类似的结果。

14.4 三角Bézier曲面的升阶

同张量积Bézier曲面一样，三角Bézier曲面也具有相应的升阶性质。次三角Bézier曲面形式上可表示为次三角Bézier曲面。

定理14.1 次三角Bézier曲面形式上可表示为次三角Bézier曲面：

（14.4.1）

其中：

（14.4.2）

证明 由于

将其代入的表达式中，整理即得。

式（14.4.2）的几何解释是：Bézier纵标是Bézier网BL在点处的值，即：

如果我们反复进行升阶，会产生怎样的结果呢？令为第次升阶后的Bézier网，由于每一个都是定义在同一三角域上的分片线性函数，且定义了相同的三角Bézier曲面。的顶点由下式确定：

（14.4.3）

定理14.2 经过第次升阶后，次三角Bézier曲面形式上可表示为次的三角Bézier曲面：

（14.4.4）

其中：

（14.4.5）

这里约定当时，组合系数。

证明 时，

结论成立。

假设时结论成立，则当时，由升阶公式可知：

根据归纳法，结论成立。

当然，也可通过在两边乘以，然后重新排列来证明该定理。

如果升阶过程无限进行下去，那么Bézier网将收敛到三角Bézier曲面片，即有下面的定理。

定理14.3

为了证明这一结论，我们引入引理。

引理14.1 若存在序列，满足条件：

则：。

证明 由式（14.4.5）可知：

另一方面，

即：

由于，故。

现在，我们证明定理14.3。

由于点在三角形中是稠密的，那么对中任意一点都存在序列，使得：

由引理14.1，对应的Bézier纵标序列，即：

14.5 三角Bézier曲面的de Casteljau算法

类似于张量积Bézier曲面上点的计算，三角Bézier曲面上的点的计算亦可由一系列线性插值来完成，对应的算法称之为de Casteljau算法。

引理14.2 二元Bernstein基函数满足以下递推公式：

（14.5.1）

定理14.4 次三角Bézier曲面可形式上表示为：

（14.5.2）

其中：

（14.5.3）

当时，有。这便是计算三角Bézier曲面上一点值的de Casteljau算法。

证明 时，结论显然成立。

时，由基函数的递推公式，可知：

假设时结论成立，即：

那么，当时

由归纳法假设，有：

故结论成立。

递推公式（14.5.3）的几何解释是：点是将域三角形仿射变换为三角曲面的Bézier网上的三角形时，点的仿射像。因此，Bézier曲面片在仿射下不变。这表明，如果用de Casteljau算法计算，然后将其进行仿射变换，与先对的Bézier网进行仿射变换，再在新的Bézier网中用de Casteljau算法计算，其结果一致。特别，若令，则有：

式（14.5.3）中的中间点具有下面的显式表示：

（14.5.4）

证明 时，有：

假设时结论成立，即：

则当时，有

故结论成立。

14.6 三角Bézier曲面的方向导数

给定一方向，记二元函数的偏导数的重心坐标表示为，即：

那么，关于的阶方向导数是：

（14.6.1）

证明 时，根据方向导数的定义，有：

假设时结论成立，则当时，有：

证毕。

值得注意的是，尽管，但有意义，即：

这是一形式表示。

特别，若，那么

由此可得三角Bézier曲面方向导数的计算公式。

定理14.5 二元Bernstein基函数关于方向的阶方向导数是：

（14.6.2）

定理14.6 三角Bézier曲面关于方向的阶方向导数是：

（14.6.3）

证明 由定理14.5，可知：

式（14.6.3）的几何解释是：当时，三点，确定了三角Bézier曲面在处的切平面。

推论14.1 （14.6.4）

证明

式（14.6.4）的一个简单几何解释是：当时， ，表示由三点所确定在方向上的斜率。

式（14.6.3）和（14.6.4）可解释如下：如果按照（14.6.3）计算，则首先对参数做级de Casteljau递归，求得，然后对做级de Casteljau递归即可。用（14.6.4）计算，则恰好倒过来，先对做级de Casteljau递归求得，再对做级de Casteljau递归。也就是说，求值的递归与求导数的递归可交换，只要分别对和做级与级de Casteljau递归，不管以什么样的次序进行。

对于域三角形的一条边界，比如和一与其不平行的方向，其相应的阶方向导数为：

（14.6.5）

它仅依赖于与平行的邻近排Bézier纵标。

将式（14.6.3）和（14.6.4）推广，便可得到混合方向导数的计算公式。令和是两个互不平行的方向，则：

（14.6.6）

（14.6.7）

这里，表示对做级de Casteljau递归，然后对做级de Casteljau递归，即：

在域三角形的顶点处，混合方向导数仅与顶点处的阶子网相关。时，相应的混合方向导数称做"扭矢"。此时，若、与域三角形的边平行，则称之为边扭矢。例如，时，则有：

（14.6.8）

其中，。

式（14.6.8）的几何意义如下：

根据以上的讨论，可得到三角域上Bézier曲面关于三个变元的偏导数计算公式。

定理14.7 （14.6.9）

证明

特别，当时，则有：

（14.6.10）

14.7 三角Bézier曲面的域变换

设三角形的三个顶点是，三角形的三个顶点为，关于三角形和的重心坐标分别记为，三角形和共有边（图14.6），三角形的定向为顺时针。边关于的重心坐标为，关于的重心坐标为。设关于的重心坐标为，那么则有：

定义在三角形上的三角Bézier曲面在整个平面上有定义，特别，在上亦有定义。我们感兴趣的是用来在定义曲面的Bézier纵标。

设在上的Bézier纵标为，那么有，即：

（14.7.1）

这里和分别为三角形上一点关于和的重心坐标。

由于和共有一条边，所以

（14.7.2）

为了确定其余的Bézier纵标，我们考察曲面关于平行边的方向的阶方向导数。若记关于和的零心坐标分别为和，则由式（14.6.5），有：

（14.7.3）

因为，所以根据式（14.7.3），有：

（14.7.4）

因此，两个二元多项式和有直到阶相等的导数：

所以，，故有以下结论。

定理14.8 设定义在三角形上，定义在三角形上，那么，的充分必要条件是：

（14.7.5）

其中，，，是点关于三角形的重心坐标。该定理给出了由计算的算法：用de Casteljau算法计算在处的值时，每一步递推生成的最靠近边的那些中间点便构成了的Bézier网。当然，用同样的方法亦可由求出。

值得注意的是，当在三角形外时，式（14.7.5）是一系列的外插，因而它是不稳定的算法。

上述讨论的只是两个三角形和共有一条边的情形，对于完全独立于的情形，则有下述结论。

推论14.2 设是三角形的顶点关于的重心坐标，那么定义在全平面上的次三角Bézier曲面在上的Bézier纵标为：

（14.7.6）

其中，。的含义是对点执行次de Casteljau递归。

证明 设中任一点关于两个三角形的重心坐标分别是和，那么

代入三角Bézier曲面，得到：

所以

推论14.3 （分割性）点将三角形分成了三个子三角形：、和（图14.7），那么三角Bézier曲面在这三个子三角形上的Bézier纵标分别是：

：

：

：

特殊情况下，若位于边上，那么三角Bézier曲面在射线上是一次Bézier曲线，其Bézier纵标是以所有平行于的曲面的Bézier纵标所定义的0次、1次、…、次Bézier曲线在参数处的值。

推论14.4 （连续性条件）设是定义在三角形上的次三角Bézier曲面，定义在三角形上的次三角Bézier曲面，关于的重心坐标为。那么，与在公共参数边界上跨边界连续的充分必要条件是：

（14.7.7）

对于的特殊情况，我们有：

其几何解释是：图14.8中的三角形对共面，且是域三角形对的仿射像。

当时，有

上式可改写为：

这里，是顶点关于三角形的重心坐标。这表明辅助Bézier纵标的存在性保证了两曲面片跨公共边界的连续。