众所周知，不可能有永远都不会出错的人，同样也不可能有永远不出错的计算机，永远不出错的数据。
人有知错能改的觉悟，计算机也有，不过计算机没有人类聪明，只能通过一个特定的方法进行自我改正，这就是校验码存在的必要了。
一般用得比较多的校验码有奇偶校验码，CRC循环冗余校验码，海明校验码等。
这里只介绍用的最多的CRC循环冗余校验码。
何为校验码
校验码是通过一种计算方法，发出端在原始数据的尾部添加若干数据；然后接收端通过计算得出数据有无错误，并且能把错误的数据还原成正确的数据。
例如，原始数据为1010，我们通过在其尾部添加若干数据，比如101，则数据变成了1010101，将这个新的数据发送出去；假如在发送过程中出现错误，数据变成了1110101，则接收端能根据1110101还原成原始正确的数据1010。
CRC循环冗余校验码的特点
CRC码是基于模2运算建立编码规律的校验码（模2运算可以简单的理解为异或运算）。
编码方法：
1.将原始数据用一个多项式M(x) = A*X^(n-1)+B*X^(n-2)+…+N*X^(1)+P*X^(0)
比如说原始数据是1010，则表示为M(x) = 1*X^(3)+0*X^(2)+1*X^(1)+0*X^(0)
2.将原始数据左移k位，得到M(X)*X^k，形成了n+k位信息。
上面的1010，左移3位，得到1010 000
3.用多项式M(X)*X^k 除以（或者说异或）一个特定的生成多项式G(X)，所得余数则为需要拼接到原始数据尾部的CRC校验码。
例：
已知原始数据为1100，生成多项式G(X)=1011，则求算CRC码的过程如下：
已知 ：M(X) = 1100 = X^3+X^2 (n=4)
由 G(X) = 1011 = X^3+X^1+1
得 k+1 = n = 4
得 k=3，需要左移3位
故得 M(X)*X^3 = 1100 000
(M(X)*X^3) / G(X)计算过程：
1100 000 M(X)*X^3
1011 G(X)
--------------
111 0 余数，高位0省去；然后余数左移1位，继续异或G(X)
101 1 G(X)
---------------
10 10 左移1位，继续异或G(X)
10 11
----------------
10 由于k=3，而算到这里我们已经对余数移位2次，还需1次
则最后算出来的结果是010，则原始数据变成了1100 010，最后三位是CRC码。
很容易发现，如果我们需要算k位码，则G(X)的位数应该是K+1.
由于最后的数据变成了7位，而有效数据还是4位，故上述的1100 010码又叫做(7,4)码，对应的还有(7,3)码，(7,6)码等。
CRC码的译码规则和纠错方法
还是刚刚的例子，我们用最后得出的数据除以G(X)，发现其余数为0，这个就是正确的数据。
我们尝试改动其中一位，比如说第2位，得到：1000 010，我们用这个数除以G(X)，发现余数为111，余数不为0，则说明数据有错了！
下面给出每个位出错对应的余数：
| 序号 | N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 | 余数 | 出错位 |
| 正确 | 1 1 0 0 0 1 0 | 000 | 无 |
| 错误 | 1 1 0 0 0 1 1 | 001 | 7 |
| 错误 | 1 1 0 0 0 0 0 | 010 | 6 |
| 错误 | 1 1 0 0 1 1 0 | 100 | 5 |
| 错误 | 1 1 0 1 0 1 0 | 011 | 4 |
| 错误 | 1 1 1 0 0 1 0 | 110 | 3 |
| 错误 | 1 0 0 0 0 1 0 | 111 | 2 |
| 错误 | 0 1 0 0 0 1 0 | 101 | 1 |
假如我们现在收到一个错误的信息是1000 010，通过计算可以得出余数是111，但是如何得知是第几位出错了？
我们试着对余数111补0后继续除下去，发现下一次的余数变成了101，继续下去，又变成了001，以后依次出现为010，100，011。。。反复循环，这就是“循环码”名字的由来。
这样，假如N2出现错误，则出现了不为0的余数后，一方面对余数补0继续模2除，另一方面将被检测的校验码字循环左移，当余数为101（即数据的首位为0）时，通过异或门可以将其纠正后在下一次移位时送回N2。这样当移满一个循环后，就得到一个纠正后的数据了。
最后给出几个标准
在上面的计算中可以发现，G(X)的作用非常重要，生成CRC码和译码都需要它。值得指出的是，并不是随便一个(K+1)位数据都可以作为生成多项式，它要满足的条件：
1.任何一位出错，都不能使余数为0，这是非常显然的；
2.不同位发生错误后，余数不能相同；
3.对余数继续模2除，应使余数循环。
为了方便起见，也为了标准化工作，现在一般用的生成多项式有以下几个：
CRC-16 = X16 + X15 + X2 + X0 美国二进制同步系统中采用
CRC-CCITT = X16 + X12 + X5 + X0 由欧洲CCITT 推荐
CRC-32 = X32 + X26 + X23 + X22 + X16 + X11 + X10 + X8 + X7 + X5 + X4 + X2 + X1 + X0
下面贴出生成CRC码的代码
#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; #define CRC_16 0x18005 // CRC-16 = X16 + X15 + X2 + X0 #define CRC_CCITT 0x11021 // CRC-CCITT = X16 + X12 + X5 + X0 #define CRC_32 0x104C11DB7 // CRC-32 = X32 + X26 + X23 + X22 + X16 + X11 + X10 + X8 + X7 + X5 + X4 + X2 + X1 + X0 #define CHECK_CODE 0x8000 // check_code = x15，判断被除数位数>=16 //check_code是为了每次做异或运算时保证位数是足够的 unsigned long table[256]; void build_16(unsigned long poly) { unsigned long x; unsigned long t; /* 这里是将原始数据直接写入到t中 for (unsigned long i=0; i<256; i++) { x = i << 8; t = 0; for (unsigned long j = 0; j < 8; j++) { if ( (x ^ t) & CHECK_CODE) t = (t << 1) ^ poly; else t <<= 1; x <<= 1; } table[i] = ( unsigned long ) t; } */ //下面的是把余数和原始数据分开的写法 //原始数据只有8位 for (int i=0; i<256; i++) { x = i<<8; //只移8位是为了位数对齐，因为下面的运算都是低位对齐的 for (int j=0; j<8; j++) { if (x&CHECK_CODE) { x <<= 1; x = x^poly; } else x <<= 1; } table[i] = (i<<16)+x; } } void build_32(unsigned long poly) { unsigned long x; for (unsigned long i=0; i<256; i++) { x = i<<24; for (unsigned long j=0; j<8; j++) { if (x & 0x80000000) //判断位数是否足够，32位 { x <<= 1; x = x^poly; } else x <<= 1; } table[i] = (i<<32)+x; } } int main() { build_16(CRC_16); build_16(CRC_CCITT); build_32(CRC_32); for (int i=0; i<256; i++) { if (i % 10 == 0) cout<<endl; printf("%lx ", table[i]); } return 0; }