• bzoj 2732: [HNOI2012]射箭


    Description

    沫沫最近在玩一个二维的射箭游戏,如下图 1 所示,这个游戏中的 x 轴在地面,第一象限中有一些竖直线段作为靶子,任意两个靶子都没有公共部分,也不会接触坐标轴。沫沫控制一个位于(0,0)的弓箭手,可以朝 0 至 90?中的任意角度(不包括 0度和 90度),以任意大小的力量射出带有穿透能力的光之箭。由于游戏中没有空气阻力,并且光之箭没有箭身,箭的轨迹会是一条标准的抛物线,被轨迹穿过的所有靶子都认为被沫沫射中了,包括那些 只有端点被射中的靶子。这个游戏有多种模式,其中沫沫最喜欢的是闯关模式。在闯关模式中,第一关只有一个靶 子,射中这个靶子即可进入第二关,这时在第一关的基础上会出现另外一个靶子,若能够一箭 双雕射中这两个靶子便可进入第三关,这时会出现第三个靶子。依此类推,每过一关都会新出 现一个靶子,在第 K 关必须一箭射中前 K 关出现的所有 K 个靶子才能进入第 K+1 关,否则游戏 结束。沫沫花了很多时间在这个游戏上,却最多只能玩到第七关“七星连珠”,这让她非常困惑。 于是她设法获得了每一关出现的靶子的位置,想让你告诉她,最多能通过多少关

    Solution

    我们需要确定的是 (a,b) 的取值,考虑求取值范围
    对于每一条直线 ((x,y1,y2)):
    (y1<=a*x^2+b*x<=y2)
    移向得:
    (b>=frac{y1}{x}-x*a)
    (b<=frac{y2}{x}-x*a)
    这相当于求点 ((a,b)) 取值范围,加上这两个限制之后就是一个半平面
    我们要判断的就是是否对于每一个直线的半平面存在一个交

    写一个半平面交就好了,大致思想是维护一个这样的东西:

    我们假设沿着每一条直线的正方向看去,左半平面的都是合法的半平面
    我们新加入一条直线时,就判断队尾和队首的交点是否在直线的左半平面即可,不满足则弹掉
    注意弹的顺序一定是先弹 (r) 再弹 (l),因为新加入的直线和 (r) 这条直线的交点才是凸包上的点

    另外就是叉积求直线交点:

    大致思想是用:
    (frac{S△DAB}{S△ABC}=frac{DP}{PC})

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N=2e5+10;const double inf=1e12;
    struct P{double x,y;P(){}P(double _x,double _y){x=_x;y=_y;}};
    inline double Y(double x,double y,double a){return y/x-x*a;}
    struct line{P a,b;int id;double p;}l[N],e[N],q[N];
    inline double operator *(P a,P b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
    inline P operator -(P a,P b){return P(a.x-b.x,a.y-b.y);}
    inline P cross(line a,line b){
        double s1=(a.b-a.a)*(b.a-a.a);
        double s2=(b.b-a.a)*(a.b-a.a);
        double t=s1/(s1+s2);
        return P(b.a.x+t*(b.b.x-b.a.x),b.a.y+t*(b.b.y-b.a.y));
    }
    inline bool comp(line i,line j){
        return i.p!=j.p?i.p<j.p:(i.b-i.a)*(j.b-i.a)>0;
    }
    int n,m=0;
    inline bool judge(line a,line b,line c){
        P d=cross(a,b);
        return (d-c.a)*(c.b-c.a)>-1e-7;
    }
    inline bool check(int mid){
        int cnt=0,L=1,R=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            if(l[i].id<=mid){
                if(l[i].p!=e[cnt].p)cnt++;
                e[cnt]=l[i];
            }
        q[++R]=e[1];q[++R]=e[2];
        for(int i=3;i<=cnt;i++){
            while(L<R && judge(q[R],q[R-1],e[i]))R--;
            while(L<R && judge(q[L],q[L+1],e[i]))L++;
            q[++R]=e[i];
        }
        while(L<R&&judge(q[R-1],q[R],q[L]))R--;
        while(L<R&&judge(q[L+1],q[L],q[R]))L++;
        return R-L>1;
    }
    int main(){
      freopen("pp.in","r",stdin);
      freopen("pp.out","w",stdout);
      cin>>n;
      int x,y1,y2;
      l[++m].a=P(-inf,-inf);l[m].b=P(inf,-inf);
      l[++m].a=P(inf,-inf);l[m].b=P(inf,inf);
      l[++m].a=P(inf,inf);l[m].b=P(-inf,inf);
      l[++m].a=P(-inf,inf);l[m].b=P(-inf,-inf);
      for(int i=1;i<=n;i++){
          scanf("%d%d%d",&x,&y1,&y2);
          l[++m].a=P(-1,Y(x,y1,-1));l[m].b=P(1,Y(x,y1,1));l[m].id=i;
          l[++m].a=P(1,Y(x,y2,1));l[m].b=P(-1,Y(x,y2,-1));l[m].id=i;
      }
      for(int i=1;i<=m;i++)l[i].p=atan2(l[i].b.y-l[i].a.y,l[i].b.x-l[i].a.x);
      sort(l+1,l+m+1,comp);
      int l=1,r=n,mid,ans=0;
      while(l<=r){
          mid=(l+r)>>1;
          if(check(mid))ans=mid,l=mid+1;
          else r=mid-1;
      }
      cout<<ans<<endl;
      return 0;
    }
    
    
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