一、范数的概念
向量范数是定义了向量的类似于长度的性质，满足正定，齐次，三角不等式的关系就称作范数。
一般分为L0、L1、L2与L_infinity范数。
二、范数正则化背景
1. 监督机器学习问题无非就是“minimizeyour error while regularizing your parameters”，也就是在规则化参数的同时最小化误差。最小化误差是为了让我们的模型拟合我们的训练数据，而规则化参数是防止我们的模型过分拟合我们的训练数据。
2. 因为参数太多，会导致我们的模型复杂度上升，容易过拟合，也就是我们的训练误差会很小。但训练误差小并不是我们的最终目标，我们的目标是希望模型的测试误差小，也就是能准确的预测新的样本。所以，我们需要保证模型“简单”的基础上最小化训练误差，这样得到的参数才具有好的泛化性能（也就是测试误差也小），而模型“简单”就是通过规则函数来实现的。另外，规则项的使用还可以约束我们的模型的特性。这样就可以将人对这个模型的先验知识融入到模型的学习当中，强行地让学习到的模型具有人想要的特性，例如稀疏、低秩、平滑等等。要知道，有时候人的先验是非常重要的。前人的经验会让你少走很多弯路，这就是为什么我们平时学习最好找个大牛带带的原因。一句点拨可以为我们拨开眼前乌云，还我们一片晴空万里，醍醐灌顶。对机器学习也是一样，如果被我们人稍微点拨一下，它肯定能更快的学习相应的任务。只是由于人和机器的交流目前还没有那么直接的方法，目前这个媒介只能由规则项来担当了。
3. 知识点2的主要内容就是阐述了正则化或者是规则项的作用：
- 约束参数，降低模型复杂度。
- 规则项的使用还可以约束我们的模型的特性。这样就可以将人对这个模型的先验知识融入到模型的学习当中，强行地让学习到的模型具有人想要的特性，例如稀疏、低秩、平滑等等。
三、监督学习与正则化(规则化)
一般来说，监督学习可以看做最小化下面的目标函数：
L(yi,f(xi;w)) ：衡量我们的模型（分类或者回归）对第i个样本的预测值f(xi;w)和真实的标签yi之前的误差。因为我们的模型是要拟合我们的训练样本的嘛，所以我们要求这一项最小，也就是要求我们的模型尽量的拟合我们的训练数据。
：但正如上面说言，我们不仅要保证训练误差最小，我们更希望我们的模型测试误差小，所以我们需要加上第二项，也就是对参数w的规则化函数Ω(w)去约束我们的模型尽量的简单。
OK，到这里，如果你在机器学习浴血奋战多年，你会发现，哎哟哟，机器学习的大部分带参模型都和这个不但形似，而且神似。是的，其实大部分无非就是变换这两项而已。
1. 第一项-Loss函数
- 如果是Square loss，那就是最小二乘了；
- 如果是Hinge Loss，那就是著名的SVM了；
- 如果是exp-Loss，那就是牛逼的 Boosting了；
- 如果是log-Loss，那就是Logistic Regression了；还有等等。不同的loss函数，具有不同的拟合特性，这个也得就具体问题具体分析的。
2. 第二项-规则化函数Ω(w)
规则化函数Ω(w)也有很多种选择，一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，规则化值就越大。比如，规则化项可以是模型参数向量的范数。然而，不同的选择对参数w的约束不同，取得的效果也不同，但我们在论文中常见的都聚集在：零范数、一范数、二范数、迹范数、Frobenius范数和核范数等等。这么多范数，到底它们表达啥意思？具有啥能力？什么时候才能用？什么时候需要用呢？今天就让我们了解一下L0、L1、L2这3个最常见的范数以及他们的作用。
四、L0与L1范数
1. L0范数：
- L0范数：表示向量中非零元素的个数。如果我们使用L0来规则化参数向量w，就是希望w的元素大部分都为零。换句话说，就是让参数W是稀疏的。
- L0范数的这个属性，使其非常适用于机器学习中的稀疏编码。在特征选择中，通过最小化L0范数可以寻找最少最优的稀疏特征项。
2. L1范数(曼哈顿距离)：
- L1范数：表示向量中各个元素绝对值之和，也被称作“Lasso regularization”（稀疏规则算子）。
- 为什么L1范数可以使得使权值稀疏？不要急，详情在后文分析。
3. 既然L0范数和L1范数都可以实现稀疏，为什么不用L0，而要用L1呢？
- 因为L0范数很难优化求解（NP难问题）
- L1范数是L0范数的最优凸近似，而且它比L0范数要容易优化求解。所以大家才把目光和万千宠爱转于L1范数。
OK，来个一句话总结：L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有比L0更好的优化求解特性而被广泛应用。
4. 我们大概知道了L1可以实现稀疏，但我们会想呀，为什么要稀疏？让我们的参数稀疏有什么好处呢？
（1）特征选择(Feature Selection)：
大家对稀疏规则化趋之若鹜的一个关键原因在于它能实现特征的自动选择。一般来说，xi的大部分元素（也就是特征）都是和最终的输出yi没有关系或者不提供任何信息的，在最小化目标函数的时候考虑xi这些额外的特征，虽然可以获得更小的训练误差，但在预测新的样本时，这些没用的信息反而会被考虑，从而干扰了对正确yi的预测。稀疏规则化算子的引入就是为了完成特征自动选择的光荣使命，它会学习地去掉这些没有信息的特征，也就是把这些特征对应的权重置为0。
（2）可解释性(Interpretability)：
另一个青睐于稀疏的理由是，模型更容易解释。例如患某种病的概率是y，然后我们收集到的数据x是1000维的，也就是我们需要寻找这1000种因素到底是怎么影响患上这种病的概率的。假设我们这个是个回归模型：y=w1*x1+w2*x2+…+w1000*x1000+b（当然了，为了让y限定在[0,1]的范围，一般还得加个Logistic函数）。通过学习，如果最后学习到的w*就只有很少的非零元素，例如只有5个非零的wi，那么我们就有理由相信，这些对应的特征在患病分析上面提供的信息是巨大的，决策性的。也就是说，患不患这种病只和这5个因素有关，那医生就好分析多了。但如果1000个wi都非0，医生面对这1000种因素，累觉不爱。
五、L2范数
1. L2范数(欧式距离)：指向量各元素的平方和然后求平方根。
它也不逊于L1范数，它有两个美称，在回归里面，有人把有它的回归叫“岭回归”（Ridge Regression），有人也叫它“权值衰减weight decay”。这用的很多吧，因为它的强大功效是改善机器学习里面一个非常重要的问题：过拟合。至于过拟合是什么，上面也解释了，就是模型训练时候的误差很小，但在测试的时候误差很大，也就是我们的模型复杂到可以拟合到我们的所有训练样本了，但在实际预测新的样本的时候，糟糕的一塌糊涂。通俗的讲就是应试能力很强，实际应用能力很差。擅长背诵知识，却不懂得灵活利用知识。例如下图所示（来自Ng的course）：
上面的图是线性回归，下面的图是Logistic回归，也可以说是分类的情况。从左到右分别是欠拟合（underfitting，也称High-bias）、合适的拟合和过拟合（overfitting，也称High variance）三种情况。可以看到，如果模型复杂（可以拟合任意的复杂函数），它可以让我们的模型拟合所有的数据点，也就是基本上没有误差。对于回归来说，就是我们的函数曲线通过了所有的数据点，如上图右。对分类来说，就是我们的函数曲线要把所有的数据点都分类正确，如下图右。这两种情况很明显过拟合了。
2. 为什么L2范数可以防止过拟合？
- 版本一：我们让L2范数的规则项||W||2最小，可以使得W的每个元素都很小，都接近于0，但与L1范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0，这里是有很大的区别的哦。而越小的参数说明模型越简单，越简单的模型则越不容易产生过拟合现象。限制了参数很小，实际上就限制了多项式某些分量的影响很小（看上面线性回归的模型的那个拟合的图），这样就相当于减少参数个数
- 版本二：一文搞懂L2范数为什么能防止过拟合
3. L2范数的益处
（1）学习理论的角度：
从学习理论的角度来说，L2范数可以防止过拟合，提升模型的泛化能力。
（2）优化计算的角度：
从优化或者数值计算的角度来说，L2范数有助于处理 condition number不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。
L2范数如何解救病态矩阵？如何加速病态矩阵的求解？L2范数之解救矩阵病态
4. 来个一句话总结：L2范数不但可以防止过拟合，提升模型的泛化能力，还可以让我们的优化求解变得稳定和快速。
六、L1范数和L2范数的对比
使用机器学习方法解决实际问题时，我们通常要用L1或L2范数做正则化（regularization），从而限制权值大小，减少过拟合风险。特别是在使用梯度下降来做目标函数优化时，很常见的说法是, L1正则化产生稀疏的权值, L2正则化产生平滑的权值。
1. 为什么L1正则化产生稀疏的权值, L2正则化产生平滑的权值？
(1) 角度一：数学公式
这个角度从权值的更新公式来看权值的收敛结果。
首先来看看L1和L2的梯度(导数的反方向）：
所以(不失一般性，我们假定：wi等于不为0的某个正的浮点数，学习速率η 为0.5)：
L1的权值更新公式为wi = wi - η * 1 = wi - 0.5 * 1，也就是说权值每次更新都固定减少一个特定的值(比如0.5)，那么经过若干次迭代之后，权值就有可能减少到0。
L2的权值更新公式为wi = wi - η * wi = wi - 0.5 * wi，也就是说权值每次都等于上一次的1/2，那么，虽然权值不断变小，但是因为每次都等于上一次的一半，所以很快会收敛到较小的值但不为0。
下面的图很直观的说明了这个变化趋势：
L1能产生等于0的权值，即能够剔除某些特征在模型中的作用（特征选择），即产生稀疏的效果。
L2可以得迅速得到比较小的权值，但是难以收敛到0，所以产生的不是稀疏而是平滑的效果。
(2) 角度二：几何空间
这个角度从几何位置关系来看权值的取值情况。
直接来看下面这张图：
- 高维我们无法想象，简化到2维的情形，如上图所示。其中，左边是L1图示，右边是L2图示，左边的方形线上是L1中w1/w2取值区间，右边得圆形线上是L2中w1/w2的取值区间，绿色的圆圈表示w1/w2取不同值时整个正则化项的值的等高线（凸函数）
- 可以看到，L1与L2的不同就在于L1在和每个坐标轴相交的地方都有“角”出现，而目标函数的测地线除非位置摆得非常好，大部分时候都会在角的地方相交。注意到在角的位置就会产生稀疏性，例如图中的相交点就有w1=0，而更高维的时候（想象一下三维的L1是什么样的？）除了角点以外，还有很多边的轮廓也是既有很大的概率成为第一次相交的地方，又会产生稀疏性。
- 相比之下，L2就没有这样的性质，因为没有角，所以第一次相交的地方出现在具有稀疏性的位置的概率就变得非常小了。这就从直观上来解释了为什么L1-regularization 能产生稀疏性，而L2-regularization 能产生平滑性。