LIV.CF559C Gerald and Giant Chess
DP只要一与排列组合或是容斥等等东西结合在一起就会变得极其毒瘤……
我们设\(f_i\)表示：走到第\(i\)个黑格子上，且之前没有走到任何一个黑格子时的方案数。
则我们如果将棋盘的右下角看作是第\(n+1\)个黑格子，\(f_{n+1}\)就是答案。
我们将黑格子按照行优先，如果行相同列优先的顺序排序，这样就明确了DP顺序。
则我们有\(f_i=C_{X_i+Y_i}^{X_i}-\sum\limits_{i=1}^{i-1}f_j*C_{(X_i-X_j)+(Y_i-Y_j)}^{X_i-X_j}\)。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5;
const int mod=1e9+7;
int n,fac[200100],inv[200100],f[2010];
pair<int,int>p[2010];
int ksm(int x,int y){
int z=1;
for(;y;y>>=1,x=(1ll*x*x)%mod)if(y&1)z=(1ll*z*x)%mod;
return z;
}
int C(int x,int y){
return 1ll*fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
int main(){
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=N;i++)fac[i]=(1ll*fac[i-1]*i)%mod;
inv[N]=ksm(fac[N],mod-2);
for(int i=N-1;i>=0;i--)inv[i]=(1ll*inv[i+1]*(i+1))%mod;
scanf("%d%d%d",&p[1].first,&p[1].second,&n),n++,p[1].first--,p[1].second--;
for(int i=2;i<=n;i++)scanf("%d%d",&p[i].first,&p[i].second),p[i].first--,p[i].second--;
sort(p+1,p+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i]=C(p[i].first+p[i].second,p[i].first);
for(int j=1;j<i;j++)if(p[j].first<=p[i].first&&p[j].second<=p[i].second)f[i]=(f[i]-1ll*f[j]*C(p[i].first-p[j].first+p[i].second-p[j].second,p[i].first-p[j].first)%mod+mod)%mod;
}
printf("%d\n",f[n]);
return 0;
}