这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。
上节课讲到，在对非周期函数进行傅里叶分析时，有
$C_k = displaystyle{frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}f(t)e^{-2pi ifrac{k}{T}t}dt }$
$f(t) = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}C_ke^{2pi ifrac{k}{T}t} }$
我们希望仅让$T o infty$就能得到我们希望的结果：傅里叶变换适用于非周期函数。但结果证明了这样还不可行，最后得出：对任意$C_k$，都有$C_k leqslant frac{M}{T}$，当$T o infty ,C_k o 0$。$C_k$跟$T$是成反比例的。
按照这种关系，我们是否能把$T$引入到$C_k$这边？
新符号$mathcal{F}$
令
$displaystyle{mathcal{F} f(frac{k}{T}) =C_k imes T = int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}e^{-2pi i frac{k}{T}t}f(t)dt }$
即有，
$f(t) = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}mathcal{F} f(frac{k}{T})e^{2pi ifrac{k}{T}t} frac{1}{T} }$
现在令$T o infty$，那么$frac{k}{T}$的取值范围为$(frac{k=-infty}{T o infty},frac{k=+infty}{T o infty})$，即$(-infty, +infty)$。取值间隔为$frac{1}{T} o 0$，趋于连续变量。现在用连续变量$s$来表示$frac{k}{T}$：
$s = frac{k}{T} , –infty < s < infty$
$mathcal{F} f(s) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}f(t)dt }$
由于$frac{k}{T}$被替换成了连续变量$s$，那么傅里叶级数的多项式会被替换成积分，其中$frac{1}{T}$为$igtriangleup s$，即$ds$
$f(t) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}mathcal{F} f(s)e^{2pi ist}ds }$
结论（定义）
如果$f(t)$的周期被定义在整个实数域中，即$-infty < T < infty$，那么其
傅里叶变换：
$mathcal{F} f(s) = displaystyle{int_{-infty}^{infty} e^{-2pi ist}f(t)dt }$
傅里叶逆变换：
$f(t) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{2pi ist} mathcal{F} f(s)ds }$
也可以写作如下形式：
$mathcal{F} f(s) = displaystyle{int_{-infty}^{infty} e^{-2pi ist}f(t)dt }$
$mathcal{F}^{-1}g(t) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{2pi ist}g(s)ds }$
符号$mathcal{F}$代表傅里叶正变换，$mathcal{F}^{-1}$代表傅里叶逆变换。
傅里叶正变换吧函数分解成连续复指数；傅里叶逆变换把这些连续复指数组合成原函数。
零点的值
$mathcal{F} f(0) = displaystyle{int_{-infty}^{infty} e^{-2pi i0t}f(t)dt = int_{-infty}^{infty}f(t)dt } $
$mathcal{F}^{-1}g(0) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{2pi is0} g(s)ds = int_{-infty}^{infty}g(s)ds }$
傅里叶变换例子
1. 矩形函数
$pi (t) =
left{egin{matrix}
1 & left| t
ight| < frac{1}{2}\
0 & left| t
ight| geqslant frac{1}{2}
end{matrix}
ight.$
傅里叶变换如下：
$egin{align*}
mathcal{F} pi(s)
&= displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}pi(t)dt } \
&= displaystyle{int_{-frac{1}{2}}^{frac{1}{2}}e^{-2pi ist}dt } \
&= left . -frac{1}{2pi is}e^{-2pi ist}
ight |_{frac{1}{2}}^{frac{1}{2}} \
&= -frac{1}{2pi is}e^{-2pi isfrac{1}{2}} - (-frac{1}{2pi is}e^{-2pi is(-frac{1}{2})}) \
&= -frac{1}{2pi is}e^{-pi is} + frac{1}{2pi is}e^{pi is} \
&= frac{1}{pi s}(frac{e^{pi is} - e^{-pi is}}{2i}) \
&= frac{1}{pi s}(frac{cos(pi s)+isin(pi s) - cos(-pi s) - isin(-pi s)}{2i}) \
&= frac{1}{pi s}(frac{2isin(pi s)}{2i}) \
&= frac{sin(pi s)}{pi s} \
&= sinc s
end{align*}$
该函数被称为$sinc$函数
2. 三角形函数
$Lambda (t) =
left{egin{matrix}
1 - left|t
ight| & left|t
ight|<1 \
0 & left|t
ight| geqslant 1
end{matrix}
ight.$
傅里叶变换如下：
$egin{align*}mathcal{F}Lambda(s)
&= displaystyle{int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ist}Lambda(t)dt}\
&=displaystyle{int_{-1}^{0}e^{-2pi ist}(1+t)dt + int_{0}^{1}e^{-2pi ist}(1-t)dt}\
&=left(left.(1+t)(-frac{1}{2pi is}e^{-2pi ist})
ight|_{-1}^0-displaystyle{int_{-1}^{0}-frac{1}{2pi is}e^{-2pi ist}dt }
ight)+left(left.(1-t)(-frac{1}{2pi is}e^{-2pi ist})
ight|_{0}^1-displaystyle{int_{0}^{1}-frac{1}{2pi is}e^{-2pi ist}dt }
ight)\
&=left(-frac{1}{2pi is}-left. frac{1}{4pi^2i^2s^2}e^{-2pi ist}
ight|_{-1}^{0}
ight)+left(frac{1}{2pi is}+left. frac{1}{4pi^2i^2s^2}e^{-2pi ist}
ight|_{0}^{1}
ight )\
&=-left(frac{1}{-4pi^2s^2}-frac{1}{-4pi^2s^2}e^{2pi is}
ight)+left(frac{1}{-4pi^2s^2}e^{-2pi is} -frac{1}{-4pi^2s^2}
ight)\
&=frac{-2+cos(2pi s)+isin(2pi s)+cos(-2pi s)+isin(-2pi s)}{-4pi^2s^2}\
&=frac{-2+2cos(2pi s)}{-4pi^2s^2}\
&=frac{-4sin^2(pi s)}{-4pi^2s^2}\
&=frac{sin^2(pi s)}{(pi s)^2}\
&=sinc^2s
end{align*}$