「高等数学学习笔记 DAY1」

映射与函数

映射的概念

定义

设 (X,Y) 是两个非空集合,如果存在一个法则 (f),使得对 (X) 中每一个元素 (x),按法则 (f),在 (Y) 中有位移确定的元素 (y) 与之对应,那么称 (f) 为从 (X) 到 (Y) 的映射,记作:$$f:X o Y,$$
其中 (y) 称为元素 (x)(在映射 (f) 下)的像,并记作 (f(x)),即:$$y=f(x),$$而元素 (x) 称为元素 (y)(在映射 (f) 下)的一个原象;集合 (X) 称为映射 (f) 的定义域,记作 (D_f),即 (D_f=X);(X) 中所有的 元素的像所组成的集合称为映射 (f) 的值域,记作 (R_f) 或 (f(X)),即$$R_f=f(X)={f(x)|x in X}.$$

注意点

1. 必须具备的三要素:集合 (X),即定义域 (D_f=X);集合 (Y),即值域的范围:(R_fsubset Y);对应法则 (f),使得每个 (xin X),有唯一确定的 (y=f(x)) 与之对应.
2. 对于每个 (xin X),元素 (x) 的像 (y) 是唯一的;而对于每个 (yin R_f),元素 (y) 的原像不一定为唯一的;映射 (f) 的值域 (R_f) 是 (Y) 的一个子集,即 (R_f subset Y),不一定 (R_f=Y).

例

例1

设 (f:[-frac{pi}{2},frac{pi}{2}] o [-1,1]),对于每个 (xin[-frac{pi}{2},frac{pi}{2}]),(f(x)=sin{x}).(f) 是一个映射,其定义域为 (D_f=[-frac{pi}{2},frac{pi}{2}]),值域 (R_f=[-1,1]).

如果 (Y) 中的任意一元素 (y) 都是 (X) 中某个元素的像,则称 (f) 为 (X) 到 (Y) 上的映射或满射;若 (X) 中任意两个不同元素 (x_1 ot=x_2),它们的像 (f(x_1) ot=f(x_2)),则称 (f) 为 (X) 到 (Y)的单射,如果映射 (f) 既是单射又是满射,则称 (f) 为一一映射(或双射).

映射又称算子.根据集合 (X,Y) 的不同情形,在不同的数学分支中,映射有不同的名称.例如:泛函,变换,函数.

逆映射与复合映射

逆映射

设 (f) 是 (X) 到 (Y) 的单射,对于每个 (yin R_f),有唯一的 (xinX),适合和 (f(x)=y),我们可以定义一个从 (R_f) 到 (X) 的新映射 (g),即$$g:R_f o X$$,对于每个 (yin R_f),规定 (g(y)=x),这 (x) 满足 (f(x)=y),这个映射 (g) 称为 (f) 的逆映射,记作 (f^{-1}),其定义域 (D_{f^{-1}}=R_f),值域 (R_{f^{-1}}=X).

只有单射才存在逆映射.例1中的映射 (f) 存在逆映射 (f^{-1}),这个逆映射就是反正弦函数的主值$$f^{-1}(x)=arcsin{x},xin[-1,1]$$,其定义域 (D_{f^{-1}}=[-1,1]),值域 (R_{f^{-1}}=[-frac{pi}{2},frac{pi}{2}]).

复合映射

设有两个映射$$g:X o Y_1,$$ $$f:Y_2 o Z,$$其中 (Y_1subset Y_2),则由映射 (g) 和 (f) 可以得出一个从 (X) 到 (Z) 的对应法则,这个法则确定了一个从 (X) 到 (Z) 的映射,这个映射称为 (g) 和 (f) 的复合映射,记作 (fcirc g),即$$fcirc g:X o Z,(fcirc g)(x)=f[f(x)],xin X.$$

由符合映射的定义可知 (R_gsubset D_f).否则,不能组成符合映射.由此可知映射 (g) 和 (f) 的符合是有顺序的,(fcirc g) 有意义并不表示 (gcirc f)也有意义.即使都有意义,也未必相同.

例

例2

设有映射 (g:mathbb{R} o[-1,1]),对于每个 (xin mathbb{R},g(x)=sin{x});映射 (f:[-1,1] o[0,1]),对于每个 (uin[-1,1],f(u)=sqrt{1-u^2}),则映射 (g) 和 (f) 构成的复合映射 (fcirc g:mathbb{R} o[0,1]),对于每个 (xin mathbb{R}),有$$(fcirc g)(x)=f[g(x)]=f(sin{x})=sqrt{1-sin^2{x}}=|cos{x}|.$$