如果两个数$a_{x}$和$a_{y}$，$exists 0<i,a_{x}^{i}equiv a_{y}(mod p^{k})$，就建一条$x$到$y$的有向边，再对这张图强连通分量缩点，记$s_{i}$表示第$i$个点的大小，$f_{i}$表示能到达$i$的点（初始）数量，则答案为$sum_{i=1}^{scc}frac{2^{s_{i}}-1}{2^{s_{i}+f_{i}}}$（对每一个点分别统计贡献）
问题就变为如何判定$exists i,x^{i}equiv y(mod p^{k})$，分为$pmid x$和$p
mid x$两类
对于$xmid p$和$y
mid p$，$x^{i}equiv y(mod p^{k})$的必要条件为$x^{i}equiv y(mod p)$，而$x^{i}equiv 0
e y(mod p)$（交换$x$和$y$也同理可以证明），因此两类之间没有关系
对于$xmid p$和$ymid p$，必然有$forall kle i,x^{i}equiv 0(mod p^{k})$，暴力枚举$i$即可，时间复杂度$o(nlog p)$
对于$x
mid p$和$y
mid p$，如果求出$且ord(x)=min_{i>0且x^{i}equiv 1(mod p^{k})}i$，那么$x^{i}equiv y(mod p^{k})$当且仅当$ord(y)mid ord(x)$
用BSGS求$ord(x)$复杂度及常数较大，考虑$ord(x)mid varphi(p)$，枚举$varphi(p)$的质因子并判断能否消除，复杂度为$o(nlog^{2}p)$
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1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 5005 4 #define mod 998244353 5 map<int,int>mat; 6 vector<int>v,v1[N],v2[N],v3[N]; 7 int n,m,P,p,k,ans,a[N],ord[N],vis[N],dfn[N],sz[N],bl[N],dp[N]; 8 int ksm(int n,int m,int p){ 9 if (!m)return 1; 10 int s=ksm(n,m>>1,p); 11 s=1LL*s*s%p; 12 if (m&1)s=1LL*s*n%p; 13 return s; 14 } 15 int bsgs(int k){ 16 int ans=1; 17 for(int i=0;i<v.size();i++)ans=ans*v[i]; 18 for(int i=0;i<v.size();i++) 19 if (ksm(k,ans/v[i],P)==1)ans/=v[i]; 20 return ans; 21 } 22 void add(int x,int y){ 23 v1[x].push_back(y); 24 v2[y].push_back(x); 25 } 26 void dfs1(int k){ 27 if (vis[k])return; 28 vis[k]=1; 29 for(int i=0;i<v1[k].size();i++)dfs1(v1[k][i]); 30 dfn[++dfn[0]]=k; 31 } 32 void dfs2(int k){ 33 if (bl[k]){ 34 if (bl[k]!=m)v3[m].push_back(bl[k]); 35 return; 36 } 37 sz[m]++; 38 bl[k]=m; 39 for(int i=0;i<v2[k].size();i++)dfs2(v2[k][i]); 40 } 41 void dfs3(int k,int x){ 42 if (vis[k])return; 43 vis[k]=1; 44 dp[x]+=sz[k]; 45 for(int i=0;i<v3[k].size();i++)dfs3(v3[k][i],x); 46 } 47 void init(){ 48 p=P; 49 for(int i=3;i*i<=P;i++) 50 if (P%i==0){ 51 p=i; 52 break; 53 } 54 for(int i=P;i>1;i/=p)k++; 55 int j=P/p*(p-1); 56 for(int i=2;i*i<=j;i++) 57 while (j%i==0){ 58 j/=i; 59 v.push_back(i); 60 } 61 if (j>1)v.push_back(j); 62 } 63 void Kosaraju(){ 64 memset(vis,0,sizeof(vis)); 65 for(int i=1;i<=n;i++)dfs1(i); 66 for(int i=n;i;i--) 67 if (!bl[dfn[i]]){ 68 m++; 69 dfs2(dfn[i]); 70 } 71 } 72 int main(){ 73 scanf("%d%d",&n,&P); 74 init(); 75 for(int i=1;i<=n;i++){ 76 scanf("%d",&a[i]); 77 mat[a[i]]=i; 78 } 79 for(int i=1;i<=n;i++) 80 if (a[i]%p)ord[i]=bsgs(a[i]); 81 else{ 82 for(int j=1,t=a[i];t>0;j++,t=1LL*t*a[i]%P) 83 if ((mat[t])&&(mat[t]!=i))add(i,mat[t]); 84 } 85 for(int i=1;i<=n;i++) 86 for(int j=1;j<=n;j++) 87 if ((i!=j)&&(ord[i])&&(ord[j])&&(ord[i]%ord[j]==0))add(i,j); 88 Kosaraju(); 89 for(int i=1;i<=m;i++){ 90 memset(vis,0,sizeof(vis)); 91 dfs3(i,i); 92 } 93 for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ans+(ksm(2,sz[i],mod)-1LL)*ksm(2,n-dp[i],mod))%mod; 94 printf("%d",ans); 95 return 0; 96 }