『树状数组』树状数组模板

『树状数组』树状数组模板

竞赛需要用到的点

• 树状数组可以解决大部分基于区间上更新、查询的操作
• 树状数组能写的线段树都能写，但线段树能写的树状数组不一定能写
• 代码量小，且常数比线段树小
• 树状数组是 树与二进制 的混合使用
• lowbit(x) -> x&(-x) 为何？ -x = x的二进制数中 0 变 1，1 变 0 然后末尾 + 1 lowbit可以得到一个由原二进制数变来的只有末尾1的新的二进制数

树状数组略讲

此处借用 百度百科 的图片

由此图我们可以得到以下信息（所有信息均用二进制处理）

• 所有区间所包含的点的数量为 (2^k) 其中 (k) 为该数二进制下末尾 (0) 的个数

• [单点修改] 当我们修改一个点 (i) 的值后，那么所包含 (i) 的区间都要改变

  • 哪些值要变？ (i) 在二进制下，加上该二进制下最低位1 例如（1001 -> 1010）（9 -> 10）

• [单点查询] 因为树状数组存储的形式类似于前缀和的形式，所以单点查询的办法也显而易见

  • 如何查询？查询 (b_i) 与 (b_{i - 1}) 的值，然后两式相减 可得 (a_i)

• [区间查询] 和单点查询类似 若查询([i, j]) ，那么可得 (b_j - b_{i - 1})

• [区间更新] 对于这种问题我们分两种情况

  • [区间修改&单点查询] 这里我们需要用到差分的思想，即将原本的树状数组的数组用差分数组来表示 (b_i = a_i - a_{i - 1}) ，答案也呼之欲出，对于差分 我们每次想得到 (a_n) 都是 (Sigma_{i = 1}^{n}b_i) 然后对于每次修改，我们对 (b_i) 与 (b_j + 1) 进行单点修改即可。

  • [区间修改&区间查询] 这里我们也要用到差分的思想，但这次我们需要维护两个差分数组（(sum1) 和 (sum2)）为什么？ 我们从上面可以得到，想要知道 (a_{[i, j]}) 的和就得用以下式子求出，(Sigma_{i = 1}^na = Sigma_{i = 1}^nSigma_{j = 1}^ib_j) 激动人心的化简时刻到了$$egin{eqnarray}Sigma_{i = 1}^na &=& Sigma_{i = 1}^nSigma_{j = 1}^ib_j &=& n imes b_1+(n-1) imes b_2 + (n - 2) imes b_3 + ... + b_n &=& nSigma_{i = 1}^nb_i - b_2-2b_3-3b_4-...-(n-1)b_n&=&nSigma_{i = 1}^nb_i + Sigma_{i = 2}^nSigma_{j = 1}^{i - 1}(-b_i)&=&nSigma_{i = 1}^nb_i + Sigma_{i = 2}^n(-b_i) imes (i - 1)&=&nSigma_{i = 1}^nb_i - Sigma_{i = 2} ^ nb_i imes (i - 1)end{eqnarray}$$

    因为 (Sigma_{i = 2}^nb_i imes (i - 1)) 与 (Sigma_{i = 1}^nb_i imes (i - 1)) 等价
    所以原式子 = (nSigma_{i = 1}^nb_i - Sigma_{i = 1}^nb_i imes (i - 1)) 在这个式子中，由于有(Sigma_{i = 1}^n)所以我们可以易得用差分，用两个差分数组维护 (b_i) 与 (b_i imes (i - 1)) 就可以了

部分模板代码展现

• 单点修改 单点查询

#define fre yes

#include <cstdio>

const int N = 100005;
int a[N], b[N];
int n;

int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

void point_change(int x, int k) { // point_change(x, k)
    while(x <= n) {
        b[x] += k;
        x += lowbit(x);
    }
}

int getSum(int x) { // getSum(x) - getSum(x - 1)
    int res = 0;
    while(x > 0) {
        res += b[x];
        x -= lowbit(x);
    } return res;
}

int main() {
    ...
}

• 单点修改 区间查询

#define fre yes

#include <cstdio>

const int N = 100005;
int a[N], b[N];
int n;

int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

void point_change(int x, int k) { // point_change(x, k)
    while(x <= n) {
        b[x] += k;
        x += lowbit(x);
    }
}

int getSum(int x) { // getSum(r) - getSum(l - 1)
    int res = 0;
    while(x > 0) {
        res += b[x];
        x -= lowbit(x);
    } return res;
}

int main() {
    ...
}

• 区间修改 单点查询

#define fre yes

#include <cstdio>

const int N = 100005;
int a[N], b[N];
int n;

int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

void interval_change(int x, int k) { // point_change(l, x) point_change(r + 1, -x)
    while(x <= n) {
        b[x] += k;
        x += lowbit(x);
    }
}

int getSum(int x) { // getSum(x)
    int res = 0;
    while(x > 0) {
        res += b[x];
        x -= lowbit(x);
    } return res;
}

int main() {
    ...
}

• 区间查询 区间修改

#define fre yes

#include <cstdio> 

const int N = 100005;
int sum1[N], sum2[N];
int n;

int lowbit(int x) {
   return x & (-x); 
}

void interval_change(int j, int k) { 
    // push -> interval_change(i, a[i] - a[i - 1])
    // change -> interval_change(l, k) interval_change(r + 1, -k)
    int i = j;
    while(j <= n) {
        sum1[j] += k;
        sum2[j] += k * (i - 1);
        j += lowbit(j);
    }
}

int getSum(int i) { // getSum(r) - getSum(l - 1)
    int res = 0, x = i;
    while(i > 0) {
        res += x * sum1[i] - sum2[i];
    	i -= lowbit(i);
    } return res;
}

int main() {
    ...
}