【CodeForces 788B】奇妙的一笔画问题

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题目大意
给定n个点m条边的无向图，不同点之间只有一条边，但可以有自环，求本质不同的合法路径的总数
一条合法路径是指经过m-2条边恰好2次，2条边1次
两条路径不同指存在一条边在两种路径中经过的次数不同
input
第一行两个整数n，m
接下来m行每行两个整数u，v，表示u到v有一条边
output
一个整数表示答案
hint
1<=n,m<=10^5,1<=u,v<=n

第一眼看到这个题的时候，就有一点思路了。m-2条边经过两次，一条边经过两次，实质上就是一去一反。
为什么会想到这个呢？想想小学的时候学一笔画问题，对于不能一笔画的图我们怎么强行的“一笔画”。就是把笔画过去，又画回来，这样一条边就经过了两次。嘛，这也算是一笔画问题的“性质”吧。

回到问题来，我们希望去掉一团画了两次的路径，剩下的两条可以一笔画。两条边要能够一笔画，就必须要相邻。其相邻的两个点所连接的其他边结合“一去一反”的性质，可以证明在经过了2次后一定能回到出发点。

然后就很容易啦。枚举每个点，从其连接的边中选择两条作为经过1次的边，就有cnt[i]*(cnt[i]-1)/2种选法，求和即可

but。。。

我只得了30分？! 立了一个flag，打脸打的啪啪响。为什么呢？
1、注意题目：可能有自环
自环就像是一个中转站，在经过这个点的时候，想沿着这个环走几次就走几次，显然一次也是可以的。那么，一条自环的边可以和任意一条边组合，就变成了去掉这个自环后，选一条边走一次，其他边走两次的问题了，在经过自环的点时顺便跑一下环，明显任何一条边都可以。
所以还要统计自环对答案的贡献。
2、图可能不连通
但是要注意，如果只有单个的点孤立出来，这样的图仍然是可以的。我们所谓的联通是指边在一个联通图中。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long 
using namespace std;

const int N=100000+5;

ll deg[N],cir[N],cntc=0,edge[N][2],fa[N];
int n,m;
ll tot=0,hasc=0;
ll head[N],end[2*N],nxt[2*N],hh=0;
bool has[N];

int getfa(int x){
    if(fa[x]==x) return x;
    return fa[x]=getfa(fa[x]);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int u,v;
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        deg[u]++,deg[v]++;
        edge[i][0]=u,edge[i][1]=v;
        int fau=getfa(u),fav=getfa(v);
        if(fau!=fav) fa[fau]=fav;
        if(u==v) cir[++cntc]=u,deg[u]--;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        u=edge[i][0];
        int j;
        for(j=1;j<=m&&j==i;j++);
        v=edge[j][0];
        if(getfa(u)!=getfa(v)){
            printf("0");
            return 0;
        }
        v=edge[j][1];
        if(getfa(u)!=getfa(v)){
            printf("0");
            return 0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        tot+=deg[i]*(deg[i]-1)/2;
    for(int i=1;i<=cntc;i++){
        tot+=(m-deg[cir[i]]);
        if(has[cir[i]]==0){
            hasc++;
            has[cir[i]]=1;
        }
    }
    tot-=(hasc-1)*hasc/2;
    printf("%lld",tot);
    return 0;
}

总结：
1、从题目出发思考问题，不要想着去套算法。生活经验或是以前学过的知识可能是可以触类旁通的。
2、思考问题要思考全面。题目中提示了一些特殊点，要去思考其可能的情况。