没有哈密瓜只有哈密顿----图论之哈密顿回路

老规矩，先来百度一下

哈密顿图(哈密尔顿图)(英语:Hamiltonian graph，或Traceable graph)是一个无向图，由天文学家哈密顿提出，由指定的起点前往指定的终点，途中经过所有其他节点且只经过一次。在图论中是指含有哈密顿回路的图，闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路(Hamiltonian cycle)，含有图中所有顶点的路径称作哈密顿路径(Hamiltonian path)。

通俗来说就是，哈密顿路径就是每个点经过且只经过一次的路径，而最终又回到起点的路径就哈密顿回路。

哈密顿路径问题在上世纪七十年代初，终于被证明是"NP完备"的。据说具有这样性质的问题，难于找到一个有效的算法。也就是说这个问题，没有实际的算法解决。

所以我们也就是简单了解一下相关定理。

（1）若图的最小度不小于顶点数的一半，则图是哈密顿图； 

（2）若图中每一对不相邻的顶点的度数之和不小于顶点数，则图是哈密顿图。 

（3）范定理：若图中每对距离为2的点中有一点的度数至少是图的点数的一半，则该图存在哈密尔顿圈。

哈密顿绕行世界问题HDU - 2181 

20的3次方，直接暴力dfs跑一遍

#include<cstdio>
int vv[25][5],ans[25],vis[25];
int m,cnt;
void dfs(int n,int u){
    ans[n]=u;
    if(n==21){
        printf("%d: ",cnt++);
        for(int i=1;i<=21;i++) printf(" %d",ans[i]);
        printf("
");
        return ;
    }
    for(int i=1,v;i<=3;i++){
        v=vv[u][i];
        if(!vis[v]){
            if(v==m&&n!=20) continue;
            vis[v]=1;
            dfs(n+1,v);
            vis[v]=0;
        }
    }
}
int main(){
    for(int i=1;i<=20;i++)
        for(int j=1;j<=3;j++){
            scanf("%d",&vv[i][j]);
            for(int k=1;k<j;k++) if(vv[i][k]>vv[i][j]){
                int temp=vv[i][j];vv[i][j]=vv[i][k];vv[i][k]=temp;
            }
        }
    while(scanf("%d",&m)&&m){
        for(int i=1;i<=20;i++) vis[i]=0;
        cnt=1;
        dfs(1,m);
    }
    return 0;
}

A sample Hamilton pathHDU - 3538

题意：求从0出发的最短哈密顿路径长度，没有就-1

暴力搜索的话21的21次方，肯定是不可能的，然后我们想一下，每个点走没走的话，那就是1或0，那我们从状态来考虑的就2的21次方-1种状态，也就全0到全1，某位有1就代表这个点走过了。

所以就成了状压dp，然后路径的话还得记录下当前最后走的点，所以dp[i][j]就是i这个状态下，最后走到的点是j的最短路径。最后就一些细节的判断。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1<<21,inf=1e9+7; 
int dp[N][25],dis[25][25],cf2[25]={1},fir[25];
int main(){
    int n,m,nn,a,b;
    for(int i=1;i<=21;i++) cf2[i]=cf2[i-1]<<1;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        nn=1<<n;
        for(int i=0;i<n;i++) fir[i]=0;
        for(int i=0;i<nn;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                dp[i][j]=inf;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                scanf("%d",&dis[i][j]);
        for(int i=0;i<m;i++){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            if(a!=0) fir[b]|=cf2[a];
        }
        dp[1][0]=0;
        for(int i=1;i<nn;i++)
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(dp[i][j]==inf) continue;
                for(int k=1;k<n;k++){
                    if((i&cf2[k])!=0||(i&fir[k])!=fir[k]) continue;
                    if(dis[j][k]!=-1) dp[i+cf2[k]][k]=min(dp[i+cf2[k]][k],dp[i][j]+dis[j][k]);
                }
            }
        int ans=inf;
        for(int i=0;i<n;i++) if(ans>dp[nn-1][i]) ans=dp[nn-1][i];
        if(ans==inf) ans=-1;
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}