我之前 写过 几篇 文章， 探讨 二体（一体） 问题， 比如
《一体方程 二体方程 三体方程》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12075154.html
《如果没有 角动量守恒定律 ， 二体 微分方程 是 解不出来 的》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12445223.html
二个 质点， 在 万有引力 下 运动， 是 二体， 如果 其中一个 质点 是 “固定” 的， 是 惯性系， 就是 一体 。
二体 可以 通过 约化质量 简化为 一体 。
我们接下来 研究 一体， 设 有 2 个 质点 A 、B ， A 、B 间 存在 万有引力， A 是 “固定” 的， B 以 一定的 初速度 运动， 我们 打算 推导出 B 的 运动轨迹 是 一个 椭圆 。
也可以说， B 围绕 A 公转， B 的 公转轨道 为 椭圆 。
我们 打算 使用 极坐标系， 先 推导 一下 极坐标系 里的 椭圆方程 。
设 椭圆 的 的 左焦点 为 A， 右焦点 为 B， 圆心 为 O， 椭圆 上 任取 一点 C， 以 A 为 原点， AB 为 极轴， 建立 极坐标系 。
如图， ∠ CAO 为 极角 θ， AC 为 极径 ρ ， 根据 椭圆定义， OD = OE = a， OA = OB = c 。
根据 椭圆定义， AC + BC = 2a ，
AH = AC * cos θ = ρ * cos θ
CH = AC * sin θ = ρ * sin θ
BH = AB - AH = 2c - ρ * cos θ
BC = 根号 ( CH ² + BH ² ) = 根号 [ ( ρ * sin θ ) ² + ( 2c - ρ * cos θ ) ² ]
= 根号 [ ( ρ * sin θ ) ² + 4 c ² - 4 c ρ * cos θ + ( ρ * cos θ ) ² ]
= 根号 [ ρ ² + 4 c ² - 4 c ρ * cos θ ]
AC + BC = 2a
ρ + 根号 [ ρ ² + 4 c ² - 4 c ρ * cos θ ] = 2a
根号 [ ρ ² + 4 c ² - 4 c ρ * cos θ ] = 2a - ρ
ρ ² + 4 c ² - 4 c ρ * cos θ = 4 a ² - 4 a ρ + ρ ²
c ² - c ρ * cos θ = a ² - a ρ
ρ ( a - c * cos θ) = a ² - c ²
ρ = ( a ² - c ² ) / ( a - c * cos θ )
ρ = ε / ( 1 - e * cos θ ) (1) 式
(1) 式 就是 极坐标系 的 椭圆方程， 其中 ε = ( a ² - c ² ) / a ， e = c / a 。
推导一下 引力势能 公式 。 设 质点 A 的 质量 为 M， 质点 B 的 质量 为 m， B 相对 A 的 引力势能 为 Ep， A 对 B 的 引力 为 F， A 、B 间 距离 为 ρ，
Ep = ʃ F dρ = ʃ G M m / ρ ² dρ = - G M m / ρ
Ep = - G M m / ρ (2) 式
(2) 式 就是 引力势能 公式 。
以 质点 A 为 原点， AB 为 极径 ρ ， 建立 极坐标系 。
设 B 相对于 A 的 角动量 为 L ， 根据 角动量守恒定律， L 为 常量 。
设 B 的 线速度 为 V， 角速度 为 ω ， 角线速度 为 Vω， 径向速度 为 Vρ， Vρ 是 V 在 ρ 方向 的 速度分量， 和 ρ 正交 的 方向 称为 角方向， Vω 是 V 在 角方向 的 速度分量 。
L = m * Vω * ρ
Vω = L / ( m * ρ ) (3) 式
ω = Vω / ρ = L / ( m * ρ ) / ρ = L / ( m * ρ ² )
又 ω = dθ / dt ，
dθ / dt = L / ( m * ρ ² )
dt = m * ρ ² / L dθ (4) 式
设 B 机械能 为 E， 动能 为 Ek， 引力势能 为 Ep， 根据 机械能守恒， E 为 常量 。
E = Ek + Ep
Ek = E - Ep = E + G M m / ρ
又 Ek = 1/2 * m V ² ，
1/2 * m V ² = E + G M m / ρ
V = 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ ) (5) 式
Vρ = 根号 ( V ² - Vω ² ) = 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² )
Vρ = 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) (6) 式
又 Vρ = dρ / dt ，
dρ / dt = 根号 ( V ² - Vω ² ) = 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² )
dt = dρ / 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) (7) 式
根据 (4) 式 (7) 式 ，
m * ρ ² / L dθ = dρ / 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² )
dθ = 1 / 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) * L / m * ρ ² dρ
两边积分 ，
ʃ dθ = ʃ 1 / 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) * L / m * ρ ² dρ
θ = ʃ 1 / 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) * L / m * ρ ² dρ
θ = ʃ 1 / 根号 ( 2 E / m + ( G M m / L ) ² - ( G M m / L ) ² + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) * L / m * ρ ² dρ
θ = ʃ 1 / 根号 { 2 E / m + ( G M m / L ) ² - [ ( G M m / L ) ² - 2 G M / ρ + L ² / ( m * ρ ) ² ] } * L / m * ρ ² dρ
θ = ʃ 1 / 根号 { 2 E / m + ( G M m / L ) ² - [ G M m / L - L / ( m * ρ ) ] ² } * L / m * ρ ² dρ (8) 式
令 u = G M m / L - L / ( m * ρ ) ，
du / dρ = u ′ = [ G M m / L - L / ( m * ρ ) ] ′ = - L / m * - 1 / ρ ² = L / ( m * ρ ² )
du = L / ( m * ρ ² ) dρ (9) 式
将 u 和 (9) 式 代入 (8) 式
θ = ʃ 1 / 根号 { 2 E / m + ( G M m / L ) ² - u ² } du
根据 积分公式 ʃ 1 / 根号 ( a ² - x ² ) dx = arcsin ( x / a ) + C ，
θ = arcsin { u / 根号 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] } + C ，
可以 将 常数 C 改名为 θ₀， θ₀ 表示 初始 θ， θ₀ 是 常量 。
θ = arcsin { u / 根号 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] } + θ₀
θ - θ₀ = arcsin { u / 根号 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] }
因为 θ₀ 是 积分常数 C， C 是 任意常数， 所以 θ - θ₀ 可以 改成 θ + θ₀ ，
θ + θ₀ = arcsin { u / 根号 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] }
sin ( θ + θ₀ ) = u / 根号 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ]
把 u = G M m / L - L / ( m * ρ ) 代回来，
sin ( θ + θ₀ ) = [ G M m / L - L / ( m * ρ ) ] / 根号 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ]
根号 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] * sin ( θ + θ₀ ) = G M m / L - L / ( m * ρ )
L / ( m * ρ ) = G M m / L - 根号 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] * sin ( θ + θ₀ )
ρ = L / m / { G M m / L - 根号 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] * sin ( θ + θ₀ ) }
ρ = ( L ² / G M m ² ) / { 1 - L / G M m * 根号 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] * sin ( θ + θ₀ ) }
令 ε = L ² / G M m ² ， e = L / G M m * 根号 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] ，
ρ = ε / { 1 - e * sin ( θ + θ₀ ) }
令 θ ′ = π / 2 - ( θ + θ₀ )
cos θ ′ = sin ( θ + θ₀ )
ρ = ε / { 1 - e * cos θ ′ }
把 θ ′ 改回 用 θ 表示 ，
ρ = ε / { 1 - e * cos θ } (10) 式
(10) 式 是 质点 B 的 θ 坐标 和 ρ 坐标 的 关系， 也就是 质点 B 的 运动轨迹 方程 。
(10) 式 符合 (1) 式 椭圆方程 的 形式， 所以， 质点 B 的 运动轨迹 是 一个 椭圆， 也可以说， 质点 B 的 公转轨道 是 一个 椭圆， 这个 椭圆 的 方程 是 (10) 式 。
可以 解 出 椭圆 的 标准参数 a 、b 、c 。 a 是 长半轴， b 是 短半轴， c 是 焦点 到 圆心 的 距离， b ² = a ² - c ² 。
因为 ε = ( a ² - c ² ) / a ， e = c / a
又 因为 ε = L ² / G M m ² ， e = L / G M m * 根号 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ]
( a ² - c ² ) / a = L ² / G M m ² (11) 式
c / a = L / G M m * 根号 [ 2 E / m + ( G M m / L ) ² ] (12) 式
解 (11) 式 (12) 式 方程组 可得 a 、c， 根据 b ² = a ² - c ² 可得 b 。 过程 略 。
设 时间 为 t， 求 ρ 、θ 和 t 的 关系 。
由 (6) 式， 有
Vρ = 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² )
dρ / dt = Vρ = 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² )
dρ / 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) = dt
两边积分，
ʃ dρ / 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) = ʃ dt
ʃ dρ / 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ - L ² / ( m * ρ ) ² ) = t
ʃ dρ / 根号 ( 2 E / m * ρ ² / ρ ² + 2 G M ρ / ρ ² - L ² / m ² / ρ ) ² ) = t
ʃ dρ / 根号 [ ( 2 E / m * ρ ² + 2 G M ρ - L ² / m ² ) / ρ ² ] = t
ʃ ρ / 根号 ( 2 E / m * ρ ² + 2 G M ρ - L ² / m ² ) dρ = t
根号 [ m / ( 2 E ) ] * ʃ ρ / 根号 [ ρ ² + G M m / E * ρ - L ² / ( 2 E m ) ] dρ = t
根号 [ m / ( 2 E ) ] * ʃ ρ / 根号 [ ρ ² + G M m / E * ρ + [ G M m / ( 2 E ) ] ² - [ G M m / ( 2 E ) ] ² - L ² / ( 2 E m ) ] dρ = t
根号 [ m / ( 2 E ) ] * ʃ ρ / 根号 { [ ρ + G M m / ( 2 E ) ] ² - [ G M m / ( 2 E ) ] ² - L ² / ( 2 E m ) } dρ = t
令 D1 = G M m / ( 2 E ) ， D2 = 根号 { [ G M m / ( 2 E ) ] ² + L ² / ( 2 E m ) } ， 简化一下 式子 ，
根号 [ m / ( 2 E ) ] * ʃ ρ / 根号 { [ ρ + D1 ] ² - D2 ² } dρ = t (13) 式
ʃ ρ / 根号 { [ ρ + D1 ] ² - D2 ² } dρ
= ʃ ( ρ + D1 - D1 ) / 根号 { [ ρ + D1 ] ² - D2 ² } dρ (14) 式
令 u = ρ + D1 ，
du / dρ = u ′ = 1
du = dρ
将 u 和 du = dρ 代入 (14) 式 ，
ʃ ( u - D1 ) / 根号 ( u ² - D2 ² ) du
= ʃ ( u / D2 - D1 / D2 ) / 根号 [ ( u / D2 ) ² - 1 ] du (15) 式
令 w = u / D2 ，
dw / du = w ′ = 1 / D2
du = D2 * dw
将 w 和 du = D2 * dw 代入 (15) 式 ， 令 D3 = D1 / D2 ，
ʃ ( w - D3 ) / 根号 ( w ² - 1 ) * D2 * dw
= D2 * ʃ ( w - D3 ) / 根号 ( w ² - 1 ) dw (16) 式
令 w = sec α ，
ʃ ( w - D3 ) / 根号 ( w ² - 1 ) dw
= ʃ ( sec α - D3 ) / 根号 [ ( sec α ) ² - 1 ] d ( sec α )
= ʃ ( sec α - D3 ) / 根号 [ 1 / ( cos α ) ² - 1 ] d ( sec α )
= ʃ ( sec α - D3 ) / 根号 [ ( sin α ) ² / ( cos α ) ² ] d ( sec α )
= ʃ ( sec α - D3 ) * cot α d ( sec α )
= ʃ sec α * cot α d ( sec α ) - ʃ D3 * cot α d ( sec α )
= ʃ sec α * cot α d ( sec α ) - D3 * ʃ cot α d ( sec α ) (17) 式
又
d ( sec α ) / dα = ( sec α ) ′ = sec α * tan α
d ( sec α ) = sec α * tan α * dα (18) 式
由 (18) 式 ，
ʃ sec α * cot α d ( sec α )
= ʃ sec α * cot α * sec α * tan α * dα
= ʃ ( sec α ) ² dα
根据 导数公式 ( tan x ) ′ = ( sec x ) ² ，
ʃ ( sec α ) ² dα = tan α
ʃ sec α * cot α d ( sec α ) = ʃ ( sec α ) ² dα = tan α
ʃ sec α * cot α d ( sec α ) = tan α (19) 式
由 (18) 式 ，
ʃ cot α d ( sec α )
= ʃ cot α * sec α * tan α * dα
= ʃ sec α dα
d ( sin α ) / dα = ( sin α ) ′ = cos α
dα = 1 / cos α * d ( sin α )
ʃ sec α dα
= ʃ sec α * 1 / cos α * d ( sin α )
= ʃ 1 / cos α * 1 / cos α * d ( sin α )
= ʃ 1 / ( cos α ) ² d ( sin α )
= ʃ 1 / [ 1 - ( sin α ) ² ] d ( sin α )
= - ʃ 1 / [ ( sin α ) ² - 1 ] d ( sin α )
根据 积分公式 ʃ 1 / ( x ² - a ² ) = 1 / ( 2 a ) * ln | ( x - a ) / ( x + a ) | + C ，
- ʃ 1 / [ ( sin α ) ² - 1 ] d ( sin α )
= - 1/2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) |
ʃ sec α dα = - 1/2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) | (20) 式
实际上， ʃ sec α dα 的 积分公式 是
ʃ sec x dx = ln | sec x + tan x | + C (21) 式
这样的话， (20) 式 和 (21) 式 应该都是 ʃ sec α dα 的 答案 ， 对 (20) 式 求导 可得 sec α ， 这说明 (20) 式 也是 ʃ sec α dα 的 积分结果 。
渝中寿人 老师 告知 (20) 式 和 (21) 式 可以 推导证明 等价 。
我在 电脑 上 写了个 程序 测试了一下， 取了 10 个 α 值 代入 (20) 式 (21) 式 计算， 结果如下 ：
第 1 列 是 α ， 第 2 列 是 (21) 式 的 值， 第 3 列 是 (20) 式 的 值， 第 4 列 是 (20) 式 减 (21) 式 的 差 。
1 , 1.2261911708835171 , 1.2261911708835171 , 0
2 , 1.5234524435626735 , 1.5234524435626735 , 0
3 , 0.1420681583893966 , 0.14206815838939643 , -1.6653345369377348e-16
4 , -0.9886883909790616 , -0.9886883909790607 , 8.881784197001252e-16
5 , -1.9323667197459249 , -1.932366719745925 , -2.220446049250313e-16
6 , -0.2870479599298176 , -0.28704795992981746 , 1.1102230246251565e-16
7 , 0.787493206261602 , 0.787493206261602 , 0
8 , 2.6153910576006307 , 2.615391057600631 , 4.440892098500626e-16
9 , 0.4381604527564729 , 0.4381604527564728 , -1.1102230246251565e-16
10 , -0.609849445357189 , -0.6098494453571889 , 1.1102230246251565e-16
可以看到， (20) 式 和 (21) 式 的 差 有 的 为 0， 有的 不为 0， 但是很小 。 比如 1.1102230246251565e-16 这种 是 科学记数法， 表示 1.1102230246251565 乘以 10 的 -16 次方 ， 这个 值 很小， 可以认为 是 0 。
实际上， 相减 的 两个数 的 绝对值 大于 0.1 ， 小于 3， 差 是 10 的 -16 次方 这个量级 可以说 是 双精度浮点型 的 精度 以内 的 最小值 了 ， 从这里来看， 也可以认为 差 是 0 。
另外， 因为 计算 的 是 自然对数 和 三角函数， 对 自然对数 和 三角函数 只能取 有限 的 小数位数， 再加上 双精度浮点型 的 位数（精度） 也是有限的， 两个 等价 而 形式 不同 的 表达式 计算 得到 的 结果 有 微小差别 也是 正常 的 。
总之呢， 可以认为 (20) 式 和 (21) 式 的 计算结果 是 相等 的 。
实际上， (20) 式 和 (21) 式 都可以 通过 求导 证明 是 sec α 的 原函数， 这样 两者之间 应该 相差 一个 常数 C 。
可以取 α = 0 来看， 当 α = 0 时，
(20) 式 = - 1/2 * ln | ( sin 0 - 1 ) / ( sin 0 + 1) | = 0
(21) 式 = ln | sec 0 + tan 0 | = 0
C = 0 - 0 = 0
即 (20) 式 和 (21) 式 之间 相差 的 常数 C = 0， 也就是说 两者 是 等价 的 表达式， 也可以说 是 同一个 函数 。
于是，
ʃ cot α d ( sec α )
= ʃ sec α dα
= - 1/2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) |
ʃ cot α d ( sec α ) = - 1/2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) | (22) 式
将 (19) 式 (22) 式 代回 (17) 式 ，
ʃ ( w - D3 ) / 根号 ( w ² - 1 ) dw
= ʃ sec α * cot α d ( sec α ) - D3 * ʃ cot α d ( sec α )
= tan α - D3 * - 1/2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) |
= tan α + D3 /2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) |
代回 (16) 式 ，
ʃ ( w - D3 ) / 根号 ( w ² - 1 ) * D2 * dw
= D2 * ʃ ( w - D3 ) / 根号 ( w ² - 1 ) dw
= D2 * [ tan α + D3 /2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) | ] (23) 式
(23) 式 就是 (14) 式 的 积分结果 。 将 (23) 式 代回 (13) 式 ，
根号 [ m / ( 2 E ) ] * D2 * [ tan α + D3 /2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) | ] = t
加上一个 积分常数 t₀， 表示 初始时间 。
根号 [ m / ( 2 E ) ] * D2 * [ tan α + D3 /2 * ln | ( sin α - 1 ) / ( sin α + 1) | ] = t + t₀ (24) 式
由 w = sec α ， α = arcsec ( w ) 。
(24) 式 就是 ρ 和 t 的 关系 。
(24) 式 中， t 是 ρ 的 显函数 ， ρ 是 t 的 隐函数， 但 理论上， 隐函数 也可以 用 t 求 ρ 。
至此， 我们 得出 了 ：
运动轨迹， 也就是 ρ 和 θ 的 关系 ： (10) 式
ρ 和 t 的 关系 ： (24) 式
θ 和 t 的 关系 ： 根据 (10) 式 (24) 式， 可以 用 θ 求 ρ， 用 ρ 求 t ， 也可以 用 t 求 ρ， 用 ρ 求 θ 。
V 和 ρ 的 关系 ： (5) 式
Vω 和 ρ 的 关系 ： (3) 式
Vρ 和 ρ 的 关系 ： (6) 式
V 和 θ 的 关系 ： 根据 (5) 式 (10) 式， 可以 用 V 求 ρ， 用 ρ 求 θ ， 也可以 用 θ 求 ρ， 用 ρ 求 V 。
Vω 和 θ 的 关系 ： 根据 (3) 式 (10) 式， 可以 用 Vω 求 ρ， 用 ρ 求 θ ， 也可以 用 θ 求 ρ， 用 ρ 求 Vω 。
Vρ 和 θ 的 关系 ： 根据 (6) 式 (10) 式， 可以 用 Vρ 求 ρ， 用 ρ 求 θ ， 也可以 用 θ 求 ρ， 用 ρ 求 Vρ 。
V 和 t 的 关系 ： 根据 (5) 式 (24) 式， 可以 用 V 求 ρ， 用 ρ 求 t ， 也可以 用 t 求 ρ， 用 ρ 求 V 。
Vω 和 t 的 关系 ： 根据 (3) 式 (24) 式， 可以 用 Vω 求 ρ， 用 ρ 求 t ， 也可以 用 t 求 ρ， 用 ρ 求 Vω 。
Vρ 和 t 的 关系 ： 根据 (6) 式 (24) 式， 可以 用 Vρ 求 ρ， 用 ρ 求 t ， 也可以 用 t 求 ρ， 用 ρ 求 Vρ 。
也就是 得出了 时间 、速度 、位置 三者 的 关系， 时间 是 t， 速度 是 V 、Vω 、Vρ， 位置 是 ρ 、θ 。
这算是 把 二体问题 解出来 了 ？
其实 还可以 这样 求 θ 和 t 的 关系， 由 (4) 式， 有
dt = m * ρ ² / L dθ
根据 (1) 式 ρ = ε / ( 1 - e * cos θ ) ，
dt = m / L * [ ε / ( 1 - e * cos θ ) ] ² dθ
两边积分，
ʃ dt = ʃ m / L * [ ε / ( 1 - e * cos θ ) ] ² dθ
t = m / L * ʃ [ ε / ( 1 - e * cos θ ) ] ² dθ (25) 式
令 u = 1 - e * cos θ ，
du / dθ = ( 1 - e * cos θ ) ′ = e * sinθ
dθ = 1 / ( e * sinθ ) du (26) 式
将 u 和 (26) 式 代入 (25) 式 ，
t = m / L * ʃ [ ε / u ] ² * 1 / ( e * sinθ ) du
t = m * ε ² / ( L * e ) * ʃ 1 / u ² * 1 / sinθ du (27) 式
由 u = 1 - e * cos θ ， 有
e * cos θ = 1 - u ，
cos θ = ( 1 - u ) / e
θ = arccos [ ( 1 - u ) / e ] (28) 式
将 (28) 式 代入 (27) 式，
t = m * ε ² / ( L * e ) * ʃ 1 / u ² * 1 / sin { arccos [ ( 1 - u ) / e ] } du (29) 式
根据公式 ( sin α ) ² + ( cos α ) ² = 1 ，
sin { arccos [ ( 1 - u ) / e ] } = 根号 { 1 - [ ( 1 - u ) / e ] ² } = 1 / e * 根号 { e ² - ( 1 - u ) ² } (30) 式
将 (30) 式 代入 (29) 式，
t = m * ε ² / ( L * e ) * ʃ 1 / u ² * e / 根号 { e ² - ( 1 - u ) ² } du
t = m * ε ² / L * ʃ 1 / u ² * 1 / 根号 { e ² - ( 1 - u ) ² } du
t = m * ε ² / L * ʃ 1 / { u ² * 根号 [ e ² - ( 1 - u ) ² ] } du (31) 式
(31) 式 中 有一个 积分 ：
ʃ 1 / { u ² * 根号 [ e ² - ( 1 - u ) ² ] } du (32) 式
只要 求出 (32) 式 这个 积分， 就可以 得到 θ 和 t 的 关系 。
注意， (32) 式 里 的 e = c / a ， 是 椭圆 的 偏心率， 不是 自然对数 的 那个 e 。
在 (32) 式 这个 积分 里 ， e 是 常量， u 是 自变量 。
还可以 顺带 看一下 求 椭圆 的 弧长 （周长） 。 对 (1) 式 椭圆方程 求导 可得 ：
ρ ′ = [ ε / ( 1 - e * cos θ ) ] ′ (33) 式
具体 的 求导过程 略 。
椭圆 弧长 微元 ds = 根号 [ ( ρ dθ ) ² + ( dρ ) ² ]
dρ / dθ = ρ ′
dρ = ρ ′ dθ
ds = 根号 [ ( ρ dθ ) ² + ( dρ ) ² ] = 根号 [ ( ρ dθ ) ² + ( ρ ′ dθ ) ² ] = 根号 [ ρ ² + ρ ′ ² ] dθ
椭圆弧长 s = ʃ ds = ʃ 根号 [ ρ ² + ρ ′ ² ] dθ
s = ʃ 根号 [ ρ ² + ρ ′ ² ] dθ (34) 式
(34) 式 这个 积分 能不能 积出来 不知道， 但是 应该 可以 表示 为 泰勒级数 。
还可以 s = ʃ V dt ，
将 (5) 式 V = 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ ) 代入，
s = ʃ 根号 ( 2 E / m + 2 G M / ρ ) dt (35) 式
(35) 式 中 ρ 对 dt 积分， 从 (24) 式 可以知道 ρ 和 t 的 关系， 代入 (35) 式 就可以变成 t 对 dt 积分， 可惜的是， (24) 式 是 ρ 的 隐函数， 不知怎么代入 。
本文 又名 《从 椭圆轨道 看 平方反比 的 深刻根源》， 又名 《笑谈 椭圆轨道》， 又名 《戏说 平方反比》， 又名 《戏说 椭圆轨道》， 又名 《笑谈 平方反比》， 又名 《神奇 的 角动量守恒》， 又名 《试试看 求 椭圆弧长》 。