组合数学

两个原理

加法原理

方案之间具有并列关系，不能同时使用

乘法原理

方案之间具有层次或阶段关系，可以同时使用

排列

线排列

定义：一般地，从n个不同的元素中，取出m(m<=n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个线排列。从n个不同的元素中取出m(m<=n)个元素的所有线排列的个数，叫做从n个不同元素的排列数，用符号P(n,m)或P^m_n表示。

组合

组合plus：球与盒

• 参考洛谷日报
• 斯特林数
• 卡特兰数

 默认问题为 n 个小球放到 m个盒子里，题型共有三项要求，球是否相同，盒子是否相同，能否有空盒。

1.球相同，盒子不同，不能有空盒

$$ans=C_{}$$

2.球相同，盒子不同，可以有空盒

ans=C^m-1_n+m-1

3.球不同，盒子不同，可以有空盒

ans=mⁿ

(乘法原理)

4.球不同，盒子相同，不能有空盒

第2类Stirling数

S[i][j]=S[i-1][j]*j+s[i-1][j-1]

(S[i][j]表示前i个小球放到前j个盒子里的方案数)

5.球不同，盒子也不同，不能有空盒

ans=m!*S[n][m]

6.球不同，盒子相同，可以有空盒

Bell数

ans=Σ(i=1->m)S[n][i]

7.球相同，盒子相同，可以有空盒

if(i==0||j==1) f[i][j]=1;

if(i<j) f[i][j]=f[i][i];

if(i>=j) f[i][j]=f[i-j][j]+f[i][j-1];

ans=f[n][m]

8.球相同，盒子相同，不能有空盒

ans=f[n-m][m]

Lucas定理

Catalan数列