DPC6th

D

令((V,s))为点集(V)，从(s)出发，若存在哈密顿回路即为合法
必要条件

• (|V| eq 3)，除(s)外，没有顶点入度为(|V|-1)
• (|V|=3)，满足上述条件外，(Vackslash {s})无边

进一步的，这个必要条件为充要条件

带点归纳的来证明这个东西（并没有看懂官方题解里具体的证明，但画画图可以感性理解，所以下面也不会写的太详细）

证明：
(Vackslash {s})中一定存在一点(t)，使得((Vackslash {s},t))合法

• ((s,t) otin E)则直接接在后面
• ((s,t)in E)
  (s)能到达(Vackslash {s,t})，一定存在(u)，使得((Vackslash {s,u},t))合法
  则构造(slongrightarrow ulongrightarrow tlongrightarrow cdots)

考虑根据这个充要条件怎么构造：

• (|V|le 4)，我们爆搜构造
• (|V|>4)，(exists s)，其入度为(|V|-1)，显然填其。否则任意点均符合条件，选择最小的

E

将(l_i)降序排列，然后依次进行操作
假设现在有([l_1,r_1),[l_2,r_2),cdots,[l_m,r_m))，长度分别为(L_i=r_i-l_i)。将长度为(l)的线段添加进去，有三种情况

如果我们并不关心已有段具体位置，也就是它们暂时还并未放到线段中取，仅考虑形成集合(S={L})的方案数

• 增加新段：(L_{m+1}=l)
• (l)与一个段合并
• (l)与两个段合并

由于(l_i)是降序排列的，所以不存在另外的情况

• 增加新段
  有一种方案。(S'=Scup l)
• 与一个段合并
  假设其与(L_i)合并
  若(S'=S)，即完全被(L_i)包含，有(L_i-(l-1))种方案
  若(L_i)长度增加，(forall xin[1,l))，有两种方案使得(L_i'=L_i+x)
• 与两个段合并
  假设其连接在(L_i,L_j)中间
  (forall xin[0,l-1))，有(l-1-x)种方案使得，(L_i,L_jlongrightarrow L_i+L_j+x)

令(sum L_i=K)，其转移到(sum L_i'=K'(K'ge K))的方案，可以通过(K)得知而并不需要知道具体的({L})

令(f_{i,m,K})为处理完前(i)个({l})，有(m)段，其中(sum L=K)。状态数为(O(n^2X))，转移(O(l_i))。复杂度为(O(n^2X^2))
容易发现，(mle frac{X}{l_i})。复杂度可优化至(O(n^2X))