大致思路：
初始时，令2是素数，假设2之后奇数全部数都是素数(偶数不考虑会快一点点)，从3开始每当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数，把这些合数都筛掉，直到最后一个奇数超出范围，剩下的都是奇数都是素数。
注：以下代码只为得到n以内的素数，所以执行后标记数组中的标记是不完整的，如函数1和2中的isPrime[4]=1显然是错的，不过这对prime数组没有影响。如果想使标记数组完整，请自行修改。
前提：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 const int MN=1e+8; 5 bool isPrime[MN];//isPrime[i]:i是否素数 6 int prime[MN/10];//prime[i]:第i个素数
1.普通筛法：
1 int makePrime1(int n)//求n以内的素数，返回得到的素数个数，下同 2 { 3 memset(isPrime,1,sizeof(isPrime)); 4 memset(prime,0,sizeof(prime)); 5 //
6 prime[1]=2; 7 int cnt=1; 8 for(long long i=3;i<=n;i+=2) 9 { 10 if(isPrime[i]) 11 { 12 prime[++cnt]=i; 13 for(long long j=i*i;j<=n;j+=i)//1此处初始值 j=i*i 比 j=i+i 要快;i和j用long long，因为i*i可能超出int范围 14 isPrime[j]=0; 15 } 16 } 17 return cnt; 18 }
2.线性筛法：每个合数只筛一次
1 int makePrime2(int n) 2 { 3 memset(isPrime,1,sizeof(isPrime)); 4 memset(prime,0,sizeof(prime)); 5 // 6 prime[1]=2; 7 int cnt=1; 8 for(int i=3;i<=n;i+=2) 9 { 10 if(isPrime[i]) 11 prime[++cnt]=i; 12 for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)//关键 13 { 14 isPrime[i*prime[j]]=0; 15 if(!(i%prime[j])) //(1) 16 break; 17 } 18 } 19 return cnt; 20 }
关键for循环的作用：
1）i是素数：标记 i*prime[j]（prime[j]为比i小的素数）为合数。
2）i是合数：标记 i*prime[j]（prime[j]为比 i 的最小素数因子更小或相等的素数）为合数，因为当prime[j]从2增加到 i 的最小素数因子（即（1）成立）时接下来就break了。
3.线性筛法空间优化（1）：用每个bool/char isPrime[i]的每一位表示一个数（0，1，2......）的标记；
则从0到n数 i 在数组中的标记为 isPrime[i/8]&(1<<(i%8))。逻辑同上，只需改3处，可节省大量空间
1 int makePrime3(int n) 2 { 3 memset(isPrime,-1,sizeof(isPrime)); //(1)把每一位变成1 4 memset(prime,0,sizeof(prime)); 5 //
6 prime[1]=2; 7 int cnt=1; 8 for(int i=3;i<=n;i+=2) 9 { 10 if(isPrime[i/8]&(1<<(i%8))) //(2)判断i是否为素数 11 prime[++cnt]=i; 12 for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++) 13 { 14 int t=i*prime[j]; 15 isPrime[t/8]&=(~(1<<(t%8))); //(3)把isPrime[t/8]的第t%8位变为0 16 if(!(i%prime[j])) 17 break; 18 } 19 } 20 return cnt; 21 }
4.线性筛法空间优化（2）：bool/char isPriem[i]中的每一位只存奇数（1,3,5,7......i，对应序号为0,1,2,3.......(i-1)/2）的标记，可使isPrime数组再节省一半空间；
则从1到n奇数 i 在数组中的标记为isPrime[(i-1)/2/8]&(1<<((i-1)/2%8))。
1 int makePrime4(int n) 2 { 3 memset(isPrime,-1,sizeof(isPrime)); 4 memset(prime,0,sizeof(prime)); 5 //
6 prime[1]=2; 7 int cnt=1; 8 for(int i=3;i<=n;i+=2) 9 { 10 if(isPrime[(i-1)/2/8]&(1<<((i-1)/2%8))) //(1)将i改为(i-1)/2即可 11 prime[++cnt]=i; 12 for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++) 13 { 14 int t=i*prime[j]; 15 if(t%2) //(2)当t为奇数时才有标记可以改变，偶数直接忽略 16 isPrime[(t-1)/2/8]&=(~(1<<((t-1)/2%8))); //t改成(t-1)/2即可 17 if(!(i%prime[j])) 18 break; 19 } 20 } 21 return cnt; 22 }
注：空间优化通常会增加时间负担
附下4个函数求五千万以内的素数的运行时间：
测评代码：
1 int main() 2 { 3 clock_t s,e; 4 int n,k; 5 while(cin>>n) 6 { 7 cout<<"内的素数有个 最大为: " ; 8 s=clock(); 9 k=makePrime4(n); 10 e=clock(); 11 cout<<k<<' '<<prime[k]<<endl; 12 cout<<"T4="<<(1000* double(e-s)/CLOCKS_PER_SEC)<<"ms"<<endl; 13 s=clock(); 14 k=makePrime3(n); 15 e=clock(); 16 cout<<k<<' '<<prime[k]<<endl; 17 cout<<"T3="<<(1000* double(e-s)/CLOCKS_PER_SEC)<<"ms"<<endl; 18 s=clock(); 19 k=makePrime2(n); 20 e=clock(); 21 cout<<k<<' '<<prime[k]<<endl; 22 cout<<"T2="<<(1000* double(e-s)/CLOCKS_PER_SEC)<<"ms"<<endl; 23 s=clock(); 24 k=makePrime1(n); 25 e=clock(); 26 cout<<k<<' '<<prime[k]<<endl; 27 cout<<"T1="<<(1000* double(e-s)/CLOCKS_PER_SEC)<<"ms"<<endl; 28 29 } 30 return 0; 31 }