【矩阵范数与秩、正定】

一、1范数

   1.定义：

   ║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值)

二、2范数

   1.定义：

    ║A║2 = A的最大奇异值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} 

三、无穷范数

   1.定义：

   ║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } (行和范数，A每一行元素绝对值之和的最大值)

四、F范数

  1.定义：

  ║A║F= ( ∑∑ a_ij^2 )^1/2 (A全部元素平方和的平方根)

五、核范数

   1.定义：

   ||A||_*是指矩阵奇异值的和

   2.用处：

    约束矩阵低秩，秩表示行列的相关性，rank(A)的凸近似是核范数||A||_*,可用于矩阵补全、去噪。

六、2,1范数

   1.定义：

  

   2.作用：

   列稀疏

七、正定

  1.定义：

   设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有z^TMz> 0，其中z^T 表示z的转置，就称M正定矩阵。

  2.性质：

   特征值都大于0

八、范数、满秩和正定关系

  1.正定->特征值都大于0>核范数>0

  2.正定->满秩