JZOJ5957.【NOIP2018模拟11.7A组】scarborough fair

PROBLEM

求无向图期望联通快的个数。

SOLUTION

考虑将每一个联通块的贡献独立，我们需要得知一个联通块内部联通的概率，与其不与外面任何一个点联通的概率。

考虑一种经典的做法。我们要求联通的概率，用1减去不连通的概率。我们设F[S]表示S这个联通块联通的概率。转移我们枚举编号最小的点所在的子集，设为T，那么F[S]+=F[T]*e[T][S xor T]，e表示T这个子集不向另外节点连边的概率，也就是T与S^T这两个集合的边断开的期望。

这个东西我们可以求出S每条边都不连的期望，除以T与S^T每条边都不连的期望，就可以得到这两个集合中间的那些边不相连的期望。

最后枚举集合，再枚举集合的子集，总复杂度O（3^n）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long 
#define mo 998244353
#define maxn 21
using namespace std;

int n,m,Mx,S,S0,T,i,j,k,x,y,cnt;
ll ans,bet[1<<maxn],inv[1<<maxn],num[1<<maxn],f[1<<maxn],z,a[maxn][maxn];

int low(int x){return x&-x;}

ll ksm(ll x,ll y){
	ll s=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mo) if (y&1)
		(s*=x)%=mo;
	return s;
}

int main(){
	freopen("fair.in","r",stdin);
	freopen("fair.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=0;i<n;i++) num[1<<i]=i;
	for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) a[i][j]=-1;
	for(i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
		a[x][y]=a[y][x]=z; 
	}
	bet[0]=1,inv[0]=1;
	for(S=1;S<1<<n;S++){
		i=num[low(S)];
		bet[S]=bet[S^(1<<i)];
		for(j=0;j<n;j++) if (j!=i&&a[i+1][j+1]!=-1&&((S>>j)&1)) 
			(bet[S]*=a[i+1][j+1])%=mo;
		inv[S]=ksm(bet[S],mo-2);
	}
	Mx=(1<<n)-1;
	for(S=1;S<1<<n;S++) {
		if (low(S)==S) f[S]=1; else{
			S0=S-low(S);
			for(j=S0;;j=((j-1)&S0)){
				T=low(S)+j;
				(f[S]+=f[T]*bet[S]%mo*inv[S^T]%mo*inv[T]%mo)%=mo;
				if (j==0) break;
			}
			f[S]=(1+mo-f[S])%mo;
		}
		(ans+=f[S]*bet[Mx]%mo*inv[Mx^S]%mo*inv[S]%mo)%=mo;
	}
	printf("%lld",ans);
}