《视觉slam十四讲》之第3讲-实践Eigen库

《视觉slam十四讲》之第3讲-实践Eigen库

Eigen库的安装

sudo apt-get install libeigen3-dev

注：Eigen是一个由纯头文件搭建的线性代数库，头文件安装路径为/usr/include/eigen3/。

实例１：Eigen的基础运算

#include <iostream>
#include <ctime>

#include <Eigen/Core>  // Eigen 部分
#include <Eigen/Dense>  // 稠密矩阵的代数运算（逆，特征值等）

#define MATRIX_SIZE 50

/****************************
* 本程序演示了 Eigen 基本类型的使用
****************************/

int main( int argc, char** argv )
{
    // Eigen 中所有向量和矩阵都是Eigen::Matrix，它是一个模板类。它的前三个参数为：数据类型，行，列
    // 声明一个2*3的float矩阵
    Eigen::Matrix<float, 2, 3> matrix_23;

    // 同时，Eigen 通过 typedef 提供了许多内置类型，不过底层仍是Eigen::Matrix
    // 例如 Vector3d 实质上是 Eigen::Matrix<double, 3, 1>，即三维向量
    Eigen::Vector3d v_3d;
	// 这是一样的
    Eigen::Matrix<float,3,1> vd_3d;

    // Matrix3d 实质上是 Eigen::Matrix<double, 3, 3>
    Eigen::Matrix3d matrix_33 = Eigen::Matrix3d::Zero(); //初始化为零
    // 如果不确定矩阵大小，可以使用动态大小的矩阵
    Eigen::Matrix< double, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic > matrix_dynamic;
    // 更简单的
    Eigen::MatrixXd matrix_x;
    // 这种类型还有很多，我们不一一列举

    // 下面是对Eigen阵的操作
    // 输入数据（初始化）
    matrix_23 << 1, 2, 3, 4, 5, 6;
    // 输出
    cout << matrix_23 << endl;

    // 用()访问矩阵中的元素
    for (int i=0; i<2; i++) {
        for (int j=0; j<3; j++)
            cout<<matrix_23(i,j)<<"	";
        cout<<endl;
    }

    // 矩阵和向量相乘（实际上仍是矩阵和矩阵）
    v_3d << 3, 2, 1;
    vd_3d << 4,5,6;
    // 但是在Eigen里你不能混合两种不同类型的矩阵，像这样是错的
    // Eigen::Matrix<double, 2, 1> result_wrong_type = matrix_23 * v_3d;
    // 应该显式转换
    Eigen::Matrix<double, 2, 1> result = matrix_23.cast<double>() * v_3d;
    cout << result << endl;

    Eigen::Matrix<float, 2, 1> result2 = matrix_23 * vd_3d;
    cout << result2 << endl;

    // 同样你不能搞错矩阵的维度
    // 试着取消下面的注释，看看Eigen会报什么错
    // Eigen::Matrix<double, 2, 3> result_wrong_dimension = matrix_23.cast<double>() * v_3d;

    // 一些矩阵运算
    // 四则运算就不演示了，直接用+-*/即可。
    matrix_33 = Eigen::Matrix3d::Random();      // 随机数矩阵
    cout << matrix_33 << endl << endl;

    cout << matrix_33.transpose() << endl;      // 转置
    cout << matrix_33.sum() << endl;            // 各元素和
    cout << matrix_33.trace() << endl;          // 迹
    cout << 10*matrix_33 << endl;               // 数乘
    cout << matrix_33.inverse() << endl;        // 逆
    cout << matrix_33.determinant() << endl;    // 行列式

    // 特征值
    // 实对称矩阵可以保证对角化成功
    Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::Matrix3d> eigen_solver ( matrix_33.transpose()*matrix_33 );
    cout << "Eigen values = 
" << eigen_solver.eigenvalues() << endl;
    cout << "Eigen vectors = 
" << eigen_solver.eigenvectors() << endl;

    // 解方程
    // 我们求解 matrix_NN * x = v_Nd 这个方程
    // N的大小在前边的宏里定义，它由随机数生成
    // 直接求逆自然是最直接的，但是求逆运算量大

    Eigen::Matrix< double, MATRIX_SIZE, MATRIX_SIZE > matrix_NN;
    matrix_NN = Eigen::MatrixXd::Random( MATRIX_SIZE, MATRIX_SIZE );
    Eigen::Matrix< double, MATRIX_SIZE,  1> v_Nd;
    v_Nd = Eigen::MatrixXd::Random( MATRIX_SIZE,1 );

    clock_t time_stt = clock(); // 计时
    // 直接求逆
    Eigen::Matrix<double,MATRIX_SIZE,1> x = matrix_NN.inverse()*v_Nd;
    cout <<"time use in normal inverse is " << 1000* (clock() - time_stt)/(double)CLOCKS_PER_SEC << "ms"<< endl;
    
	// 通常用矩阵分解来求，例如QR分解，速度会快很多
    time_stt = clock();
    x = matrix_NN.colPivHouseholderQr().solve(v_Nd);
    cout <<"time use in Qr decomposition is " <<1000*  (clock() - time_stt)/(double)CLOCKS_PER_SEC <<"ms" << endl;

    return 0;
}

几种矩阵类型

• Eigen::Matrix<float, 2, 3> 矩阵
• Eigen::Vector3d v_3d == Eigen::Matrix<double, 3, 1> 向量
• Eigen::MatrixXd ＝ Eigen::Matrix<double, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> 动态矩阵

简单的矩阵操作

• 输入数据：matrix_23 << 1, 2, 3, 4, 5, 6;
• 输出数据：cout << matrix_23 << endl;
• 访问矩阵： for + matrix(i, j)
• 初始化为零： Eigen::Matrix3d matrix_33 = Eigen::Matrix3d::Zero();
• 初始化为随机数： Eigen::Matrix3d matrix_33 = Eigen::Matrix3d::Random();
• 初始化为单位矩阵：Eigen::Matrix3d matrix_33 = Eigen::Matrix3d::Identity();

一些矩阵运算

• 转置： matrix_33.transpose()

• 各元素求和： matrix_33.sum()

• 求迹：matrix_33.trace()

• 求逆：matrix_33.inverse()

• 求行列式：matrix_33.determinant()

• 求特征值与特征向量：

  Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::Matrix3d> eigen_solver ( matrix_33.transpose()*matrix_33 );
  eigen_solver.eigenvalues()；
  eigen_solver.eigenvectors()；
  

• 求解方程： 直接求解， QR分解

实例2：Eigen的几何模块

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>  // Eigen 几何模块

/****************************
* 本程序演示了 Eigen 几何模块的使用方法
****************************/

int main ( int argc, char** argv )
{
    // Eigen/Geometry 模块提供了各种旋转和平移的表示
    // 3D 旋转矩阵直接使用 Matrix3d 或 Matrix3f
    Eigen::Matrix3d rotation_matrix = Eigen::Matrix3d::Identity();
    // 旋转向量使用 AngleAxis, 它底层不直接是Matrix，但运算可以当作矩阵（因为重载了运算符）
    Eigen::AngleAxisd rotation_vector ( M_PI/4, Eigen::Vector3d ( 0,0,1 ) );     //沿 Z 轴旋转 45 度
    cout .precision(3);
    cout<<"rotation matrix =
"<<rotation_vector.matrix() <<endl;  //用matrix()转换成矩阵
    // 也可以直接赋值
    rotation_matrix = rotation_vector.toRotationMatrix();
    // 用 AngleAxis 可以进行坐标变换
    Eigen::Vector3d v ( 1,0,0 );
    Eigen::Vector3d v_rotated = rotation_vector * v;
    cout<<"(1,0,0) after rotation = "<<v_rotated.transpose()<<endl;
    // 或者用旋转矩阵
    v_rotated = rotation_matrix * v;
    cout<<"(1,0,0) after rotation = "<<v_rotated.transpose()<<endl;

    // 欧拉角: 可以将旋转矩阵直接转换成欧拉角
    Eigen::Vector3d euler_angles = rotation_matrix.eulerAngles ( 2,1,0 ); // ZYX顺序，即roll pitch yaw顺序
    cout<<"yaw pitch roll = "<<euler_angles.transpose()<<endl;

    // 欧氏变换矩阵使用 Eigen::Isometry
    Eigen::Isometry3d T=Eigen::Isometry3d::Identity();                // 虽然称为3d，实质上是4＊4的矩阵
    T.rotate ( rotation_vector );                                     // 按照rotation_vector进行旋转
    T.pretranslate ( Eigen::Vector3d ( 1,3,4 ) );                     // 把平移向量设成(1,3,4)
    cout << "Transform matrix = 
" << T.matrix() <<endl;

    // 用变换矩阵进行坐标变换
    Eigen::Vector3d v_transformed = T*v;                              // 相当于R*v+t
    cout<<"v tranformed = "<<v_transformed.transpose()<<endl;

    // 对于仿射和射影变换，使用 Eigen::Affine3d 和 Eigen::Projective3d 即可，略

    // 四元数
    // 可以直接把AngleAxis赋值给四元数，反之亦然
    Eigen::Quaterniond q = Eigen::Quaterniond ( rotation_vector );
    cout<<"quaternion = 
"<<q.coeffs() <<endl;   // 请注意coeffs的顺序是(x,y,z,w),w为实部，前三者为虚部
    // 也可以把旋转矩阵赋给它
    q = Eigen::Quaterniond ( rotation_matrix );
    cout<<"quaternion = 
"<<q.coeffs() <<endl;
    // 使用四元数旋转一个向量，使用重载的乘法即可
    v_rotated = q*v; // 注意数学上是qvq^{-1}
    cout<<"(1,0,0) after rotation = "<<v_rotated.transpose()<<endl;

    return 0;
}

小笔记

• 旋转矩阵（ 3 × 3）： Eigen::Matrix3d。

  Eigen::Matrix3d rotation_matrix = Eigen::Matrix3d::Identity(); 
  

• 旋转向量（ 3 × 1）： Eigen::AngleAxisd。

  Eigen::AngleAxisd rotation_vector ( M_PI/4, Eigen::Vector3d ( 0,0,1 ) ); 
  

• 欧拉角（ 3 × 1）： Eigen::Vector3d。

• 四元数（ 4 × 1）： Eigen::Quaterniond。

• Eigen::Quaterniond q = Eigen::Quaterniond ( rotation_vector );
  q = Eigen::Quaterniond ( rotation_matrix );
  

• 欧氏变换矩阵（ 4 × 4）： Eigen::Isometry3d。

  Eigen::Isometry3d T=Eigen::Isometry3d::Identity(); // 虽然称为 3d ，实质上是 4＊4 的矩阵
  38 T.rotate ( rotation_vector );       // 按照 rotation_vector 进行旋转
  39 T.pretranslate ( Eigen::Vector3d ( 1,3,4 ) ); // 把平移向量设成 (1,3,4)
  

• 仿射变换（ 4 × 4）： Eigen::Affine3d。

• 射影变换（ 4 × 4）： Eigen::Projective3d。

它们的之间转换

• 旋转向量-> 旋转矩阵

rotation_matrix = rotation_vector.toRotationMatrix();

• 旋转矩阵-> 欧拉角

euler_angles = rotation_matrix.eulerAngles ( 0， 1， 2); //roll, pitch, yaw顺序