递推例题及答案
重点题目：
P1312 ：【例3.4】昆虫繁殖
题目描述
科学家在热带森林中发现了一种特殊的昆虫，这种昆虫的繁殖能力很强。每对成虫过x个月产y对卵，每对卵要过两个月长成成虫。假设每个成虫不死，第一个月只有一对成虫，且卵长成成虫后的第一个月不产卵（过x个月产卵），问过z个月以后，共有成虫多少对？ 0≤x≤20，1≤y≤20，X≤z≤50。
【输入】
x，y， z的数值。
【输出】
过z个月以后，共有成虫对数
【输入样例】
1 2 8
【输出样例】
3 7
思路
用两个数组a，b分别记录每月新增幼虫、现有成虫的数量，我们可以得到递推式
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#define int long long
using namespace std;
int x,y,z;
int a[100000],b[1000000];
signed main(){
cin >> x >> y >> z;
for(int i = 0;i < x; i++) b[i] = 1;
for(int i = x;i <= z+1; i++){
a[i] = b[i-x] * y;
b[i] = b[i-1] + a[i - 2];
}
cout << b[z] << endl;
return 0;
}
P1313 ：【例3.5】位数问题
题目描述
在所有的N位数中，有多少个数中有偶数个数字3？由于结果可能很大，你只需要输出这个答案对12345取余的值。
【输入】
读入一个数N（N < 1000）。
【输出】
输出有多少个数中有偶数个数字3。
【输入样例】
2
【输出样例】
73
思路
两个数组，分别记录n位数以内，有奇数个3的数的个数(a)，有偶数个3的个数(b)。
即可得到递推式
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define MOD 12345
using namespace std;
int n;
int a[100000],b[100000];
int main(){
cin >> n;
a[1] = 8;
b[1] = 1;
for(int i = 2;i <= n; i++){
a[i] = (a[i-1] * 9 + b[i-1])% MOD;
b[i] = (b[i-1] * 9 + a[i-1]) % MOD;
}
cout << a[n] << endl;
return 0;
}
P1314：【例3.6】过河卒(Noip2002)
题目描述
棋盘上A点有一一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上的某一点有一 一个对方的马（如C点）， 该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点，如图3一1中的C点和P1， ..... P8，卒不能通过对方马的控制点。棋盘用坐标表示，A点（0，0）、 B点（n， m） （n，m为不超过20的整数），同样马的位置坐标是需要给出的，C+A且C≠B。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。
【输入】
给出n、m和C点的坐标。
【输出】
从A点能够到达B点的路径的条数。
【输入样例】
8 6 0 4
【输出样例】
1617
思路
用一个二维数组存储到任意点的路径条数，只要是和当前点距离(sqrt 5)的点都加上就行。
当时为什么没ac？因为没开long long。。
代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
long long n,m;
long long x,y;
long long f[100][100];
bool PD(long long xx,long long yy){
long long dis = (xx - x)*(xx - x) + (yy - y)*(yy - y);
if(dis == 5 || dis == 0) return 0;
else return 1;
}
int main(){
cin >> n >> m;
f[0][0] = 1;
cin >> x >> y;
for(long long i = 0;i <= n; i++){
for(long long j = 0;j <= m; j++){
// if(!PD(i,j)) cout << "(" << i << "," << j << ")
";
}
}
for(long long i = 1;i <= n; i++) if(PD(i,0))f[i][0] = f[i-1][0];else f[i][0] = 0;
for(long long i = 1;i <= m; i++) if(PD(0,i))f[0][i] = f[0][i-1];else f[0][i] = 0;
for(long long i = 1;i <= n; i++){
for(long long j = 1;j <= m; j++){
if(PD(i,j)){
f[i][j] = f[i][j-1] + f[i-1][j];
}else f[i][j] = 0;
}}
for(long long i = 0;i <= n; i++){
for(long long j = 0;j <= m; j++){
// cout << f[i][j] << " ";
}
// cout << endl;
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
P1188 ：菲波那契数列(2)
题目描述
菲波那契数列是指这样的数列：数列的第一一个和第二个数都为1，接下来每个数都等于前面2个数之和。给出一一个正整数a，要求菲波那契数列中第a个数对1000取模的结果是多少。
【输入】
第1行是测试数据的组数n，后面跟着n行输入。每组测试数据占1行，包括一个正整数a（1≤a≤100000）。
【输出】
n行，每行输出对应一一个输入。输出应是一个正整数，为菲波那契数列中第a个数对1000取模得到的结果。
【输入样例】
4
5
2
19
1
【输出样例】
5
1
181
1
思路
这个题我巩固了一下矩阵乘法。
代码
#include "iostream"
#include "cstdio"
#include "algorithm"
#include "cstring"
#include "string"
#include "cmath"
#define int long long
using namespace std;
const int p = 1000;
int n,a,b;
struct matrix{
int a[4][4]={};
void print(){
for(int i = 0;i < 2; i++){
for(int j = 0;j < 2; j++){
cout << a[i][j] << ' ';
}
cout << endl;
}
}
}in,e;
matrix operator *(matrix &a,matrix &b){
matrix c;
for(int i = 0;i < 2; i++){
for(int j = 0;j < 2; j++){
for(int k = 0;k < 2; k++){
(c.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j] %p) %=p;
}
}
}
return c;
}
matrix Pow(matrix a,int x){
matrix tot = e;
while(x){
if(x & 1) tot = a * tot;
a = a * a;
x >>= 1;
}
return tot;
}
signed main(){
int t;
cin >> t;
while(t--){
cin >> n ;
a = 1,b = 1;
e.a[0][0] = 1;e.a[0][1] = 1;
in.a[0][0] = 0; in.a[0][1] = b;
in.a[1][0] = 1; in.a[1][1] = a;
matrix ans = Pow(in,n);
int x = ans.a[1][1];
cout << x << endl;
}
return 0;
}