引入
如果你想维护一个数据结构，有一个序列 (a)，每次查询 (lsim r) 区间和（求 (sumlimits_{i=l}^ra_i)），只有查询，线段树&树状数组难免有些大材小用，但是维护它效率要高，甚至要达到 (mathcal{O}(1))。
这个东西该怎么维护呢？
我们可以创造一个序列 (s_i=sumlimits_{j=1}^ia_i)。
这个序列显然可以用一种递归方式定义：
(s_i=egin{cases} a_i&i=1\ s_{i-1}+a_i&i>1 end{cases})
这样的话每次查询只需要输出 (s_{r}-s_{l-1}) 就行了。
(s) 在输入时即可统计，不会增加太多常数。
这种创造 (s) 数组的方法叫做前缀和，(s) 叫做对于 (a) 的前缀和。
应用
当然前缀和在区间求和应用领域极其有用，对于前缀和的求和性质，我们可以优化一些题目，比如 P1147。
[例题1] P1569 【Generic Cow Protests】
题意简述：
将数列 (a) 分成几组，每组数字和 (ge 0) ，求最大组数。
我们维护一个数组 (dp_i) 表示区间 (1sim i) 之间的最优解，我们找到两个数 (i,j)，统计 (a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+dots+a_{j-1}+a_j=sumlimits_{k=i}^ja_i)，然后更新最优解即可，注意判断不可行情况 (dp_j<0) 即可。
这个算法的时间复杂度是 (mathcal{O}(n^3)) 的，显然会 TLE，我们该怎么优化呢？
我们发现，只有求和是可以优化的，我们就可以考虑维护一个前缀和数组，(mathcal{O}(1)) 解决求和问题，算法时间复杂度直接降到 (mathcal{O}(n^2))
通过这道例题我们发现前缀和真是个有用的工具，它主要用来优化区间求和问题。
[例题2] P1865 A % B Problem
题意简述：
求区间质数个数。
因为是质数我们可以尝试埃氏筛，因为是求区间质数个数，所以要 for 遍历一遍，(mle 10^6)，时间复杂度是 (mathcal{O}(mlog log m+n^2)approxmathcal{O}(n^2))。
(mathcal{O}(mlog log m)) 已经很接近线性了，主要是优化 (mathcal{O}(n^2)) 部分。
我们可以维护一个序列 (p) 表示 (1sim p) 质数个数，这个埃氏筛时即可解决。
然后求区间质数个数只需要按照前缀和方法相减即可，(mathcal{O}(n^2) omathcal{O}(1))！，时间复杂度立刻降到 (mathcal{O}(mlog log m)approxmathcal{O}(m))。
[例题3] P1043 数字游戏
题意简述：
给定一圈整数（一共 (n)个），你要按顺序将其分为 (m) 个部分，各部分内的数字相加，相加所得的 (m) 个结果 (mod ;10) 后再相乘，使最终结果最大/最小。
首先对于环状的东西首先当然要破环为链。
我们设 (dp_{i,j,h}) 为从 (i) 到 (j) 分成 (h) 段的最大/最小值。
我们枚举中间点 (k)，则转移方程如下：
- 循环处注意先枚举区间长度，要不然会有遗漏。
- 再枚举左右端点，区间 dp 套路。
- 然后枚举段数用来更新。
- 最后枚举中间点 (k)。
大约时间复杂度是 (mathcal{O}(n^3m))，跑不满的。
[例题4]P2969 [USACO09DEC]Music Notes S
题意简述：
给定序列 (a)，有序列 (b)：(b_0sim b_{a_1-1}=1)，(b_{a_1}sim b_{a_1+a_2-1}=2)，(b_{a_1+a_2}sim b_{a_1+a_2+a_3-1}=3)，(dots)，询问 (q) 次 (b_i)。
这个维护一个前缀和标记极值，然后 upper_bound 即可解决，很简单。
时间复杂度大概是 (mathcal{O}(qlog n))。
总结
前缀和主要应用于优化区间求和，对于形如(sumlimits_{i=l}^ra_i) 的柿子可以优化到 (mathcal{O}(1))，做题时主要应用于 dp 的求和（虽然一般是单调队列优化）和某些区间统计问题。