BZOJ1856: [Scoi2010]字符串 组合数学

Description

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

Input

输入数据是一行，包括2个数字n和m

Output

输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，只需输出这个数除以20100403的余数

Sample Input

2 2

Sample Output

2

HINT

【数据范围】
对于30%的数据，保证1<=m<=n<=1000
对于100%的数据，保证1<=m<=n<=1000000

  题解：很明显可以抽象成卡特兰数的表达式，即从（0，0）点走到（n，m）点，但是不能越过y=x这条线的方案数，方案数为**$C_{n+m}^{m}-C_{n+m}^{m-1}$;
  我用了两个做法。。先是用逆元做了一次，有用Lucas定理做了一次，直接把组合数化简/套用定理+快速幂即可.  
逆元代码：（写得丑就这么看吧……应该能看懂）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=1000001;
const long long mod=20100403;
long long tot=1,temp=1;
long long ksm(long long a,long long b,long long c)
{
    long long ans=1;
    while(b!=0)
    {
        if(b%2==1) ans=ans*a%c;
        a=a*a%c;
        b/=2;
    }
    return ans%c;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
    long long n,m,i,j,nn,mm;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    nn=n,mm=n;
    for(i=n+m;i>n;i--)
    tot=tot*i%mod;
    for(i=1;i<=m;i++)
    temp=temp*i%mod;
    long long k=ksm(temp,mod-2,mod);
    tot=tot*k%mod;
    temp=1;
    for(i=n+m;i>=n+2;i--)
    temp=temp*i%mod;
    long long tempt=1;
    for(i=1;i<m;i++)
    tempt=tempt*i%mod;
    k=ksm(tempt,mod-2,mod);
    tot=(tot-k*temp%mod+mod)%mod;
    printf("%lld
",tot);
    return 0;
}

Lucas代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int mod=20100403;
long long n,m,p;
long long quick_pow(long long a,long long b,long long c)
{
    long long ans=1;
    while(b!=0)
    {
        if(b%2==1) ans=ans*(a%c)%c;
        a=a%c*a%c;
        b/=2;
    }
    if(b==0) return ans%c;
}
long long C(long long n,long long m,long long p)
{
    long long a=1,b=1;
    if(m>n) return 0;
    while(m>0)
    {
        a=a*n%p;
        b=b*m%p;
        m--;
        n--;
    }
    return a*quick_pow(b,p-2,p)%p;
}
long long Lucas(long long n,long long m,long long p)
{
    if(m==0) return 1;
    return (C(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p)%p);
}
int main(int argc, char *argv[])
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    long long ans=Lucas(n+m,m,mod);
    ans=(ans-Lucas(n+m,m-1,mod)+mod)%mod;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}