$$\large{第一章：数列极限}$$
1.关于数列极限的定义：\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x_n=a\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0,\exists N\in N_+,\)当\(n>N\)时，恒有\(|x_n-a|<\varepsilon\)
2.概念定义题的证明：
例2.1 用定义证明\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}q^n=0\)\((q为常数且|q|<1)\).
例2.2 证明：\(若\lim\limits_{x\rightarrow\infty}a_n=A,则\lim\limits_{x\rightarrow\infty}|a|=|A|\).
3.见根号差，用有理化模型
例3.1 \(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt{n+3\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}\)
例3.2 \(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}\)
4.夹逼准则的运用
例4.1 \(求极限\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\frac{n}{n^2+1}+...+\frac{n}{n^2+n}\))
例4.2 \(求极限\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})\)
例4.3 \(求极限\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{1}{n^2+n+2}+...+\frac{1}{n^2+n+n})\)
例4.4 \(求极限\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+2^n+3^n)^{\frac{1}{n}}\)
5.套用常用不等式or函数比较关系求极限的运用
例5.1 设数列\({a_n}\)满足\(a_1=a(a>0),a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{2}{a_n})\),证明极限\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\)存在，并求其值。
例5.2 设数列\({x_n}\)满足\(0<x_1<\pi,x_{n+1}=\sin{x_n}(n=1,2...)\)，证明\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n\)存在，并求其值。
例5.3 设\(x_1=25,x_{n+1}=\arctan{x_n}(n=1,2,...).\)
(1)证明数列\({x_n}\)有极限，并求此极限。
(2)求\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n-x_{n+1}}{x_n^3}\)
6.综合运用
例6.1 设\(x_1=2,x_n+(x_n-4)x_{n-1}=3(n=2,3,...)\),求\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n\)
7.配凑使用/技巧性运用
例7.1 \(求\lim\limits_{n\to\infty}[\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+...+\frac{1}{n(n+1)}]^n的值\)(复习全书p11例4)
例7.2 \(求\lim\limits_{x\to0}(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin{x}}{|x|})\)(复习全书p12例7)
例7.3 \(求\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+5}{5x+3}\sin{\frac{2}{x}}的值\)(复习全书p25例36)
例7.4 \(求\lim\limits_{x\to\infty}[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}]^x的值\)(复习全书p26例40)
例7.5 \(求\lim\limits_{x\to0}\frac{e-e^{\cos{x}}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}的值\)(复习全书p29例47)
例7.6 \(求\lim\limits_{x\to0}\frac{{e^x}^2-e^{2-2\cos{x}}}{x^4}的值\)(复习全书p33例57)
例7.7 \(求极限\lim\limits_{x\to0}(1+3x)^{\frac{2}{\sin{x}}}的值\)(复习全书p40例80)