在计算 xn 时，我们会怎么算呢？如果只是x * x * x * ... * x 这样每个数乘起来计算 n 次的的话，虽然算法简单，但是复杂度为 O(n) ，往往不能满足要求。让我们来考虑加速幂运算的方法。
如果 n = 2k ，可以将其表示为 xn = ((x2)2)... ，只要做 k 次平方运算就可以轻松求得。由此我们想到，先将 n 表示为2的幂次的和 n = 2k1 + 2k2 + 2k3 + ... ，就有 xn = x2^k1 x2^k2 x2^k3 ... ，只要在依次求 x2^i 的同时计算就好了，最终得到了 O(logn) 计算幂运算的算法。比如计算x22，可以把 x22 表示为 x2 * x4 * x16 （22转成二进制是10110）。在进行幂运算时，往往因为结果数字过大，而让我们输出取余后的结果。下面是一段参考代码：
1 typedef long long ll; 2 3 ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){ 4 ll res = 1; 5 while(n>0){ 6 if(n&1) res = res * x % mod; //如果二进制最低位为1，则乘上x^(2^i) 7 x = x * x % mod; //将x平方 8 n >>= 1; 9 } 10 return res; 11 }
代码还是很容易理解的，先把n转化成二进制表示，然后每一位开始依次计算。如果二进制最低位为1，那么就将结果乘上x2^i ( i 的值取决于现在算到哪一位，如果是第0位则 i = 0）。每次将x平方，然后将n右移一位，继续下一位的计算。比如计算x22，就先把22转化成10110，最低位是0，res不变，x变成x2，右移变成1011；最低位是1，res乘上x2，x2再变为x4（也就是x2^2），右移变成101；最低位是1，res乘上x4，x4再变为x8，右移变成10……依次类推，最终结果也就是res = x2 * x4 * x16（此处没有考虑取余）。
---------------------------------------------下面是另一种思路。--------------------------------------------------------------
当n为偶数时有 xn = ((x2)(n/2)) ，递归转为n/2的情况；n为奇数时有 xn = ((x2)(n/2)) * x ，同样也递归转为 n/2 的情况。这样不断递归下去，每次n都减半，于是可以在O(logn)时间内完成幂运算。这个比第一种似乎更容易想到也更易理解，下面给出代码：
1 typedef long long ll; 2 3 ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){ 4 if(n == 0) return 1; 5 if(n == 1) return x % mod; 6 ll res = mod_pow(x * x % mod, n / 2, mod); 7 if(n & 1) 8 res = res * x % mod; 9 return res; 10 }
还有一种非常类似的，f(x,n) = xn，x为奇数那么f(x,n) = f(x,n/2) * f(x,n/2) *x，x为偶数那么f(x,n) = f(x,n/2) * f(x,n/2)。
1 ll f(int x,int n){ 2 if(n==0) return 1; 3 if(n==1) return x; 4 if(n&1) return f(x,n>>1)*f(x,n>>1)*x; //如果n是奇数 5 else return f(x,n>>1)*f(x,n>>1); //如果n是偶数 6 }