POJ 1037 (计数 + DP) 一个美妙的栅栏

这道题总算勉勉强强看懂了，DP和计数都很不好想

DP部分：

称i根木棒的合法方案集合为S(i)，第二根木棒比第一根长的方案称作UP方案，反之叫做DOWN方案

C[i][k][DOWN] 是S(i)中以第k短(而不是长度为k)的木棒打头的DOWN方案数。

假设S(i)中第一根木棒长为x，那么构成合法的方案数有两类：

1. S(i - 1)中第一根木棒比x长的DOWN方案
2. S(i - 1)中第一根木棒比x短的UP方案

有如下递推关系：

C[i][k][UP] = ∑ C[i-1][M][DOWN]
M = k ... i -1
C[i][k][DOWN] = ∑ C[i-1][N][UP]
N = 1… k-1

举个例子：

比如四根木棒，假设第一根木棒长度为2，在剩下的1 3 4中，比2长的3和4分别是S(3)中第2和第3短的。(要和C所定义的状态相对应)

所以上式的M和N的范围就是这样的

总的方案数就是：Sum{ C[n][k][DOWN] + C[n][k][UP] } k = 1.. n

计数部分：

扔掉这个题，考虑一下这个问题：

1 2 3 4全排列，求字典序的第10个

首先假设第一个数是1，那么后面有3! = 6 < 10种排列情况，所以打头的不是1。  继续假设是2，后面三个数也有6种排列情况， 6 + 6 ≥ 10，所以第一个数确定是2，此时跳过了第一个数为1的6种情况。

继续假设第二个数是1，后面有2! = 2种情况， 2 + 6 ＜ 10，所以假设第二个数是3(注意2已经在第一个数中用过了)，依旧是有2种情况， 8 + 2 ≥ 10，第二个数确定是3，跳过了10种情况。

后面因为10 ≥ 10，所以第三第四个数分别是1 4

所求的排列就是2 3 1 4

回到这个题上来：

前面已经求得了i个数中第k小打头的方案数，所以我们也完全可以模拟上面的思维过程来求解。

微调：以第i短的木棒作第k根时，有UP和DOWN两类方案，先用DOWN的方案数和C比较

//#define LOCAL
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 25;
const int UP = 0;
const int DOWN = 1;
long long C[maxn][maxn][2];

void Init(int n)
{
    memset(C, 0, sizeof(C));
    C[1][1][UP] = C[1][1][DOWN] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
        for(int k = 1; k <= i; ++k)
        {
            for(int M = k; M < i; ++M)
                C[i][k][UP] += C[i - 1][M][DOWN];
            for(int N = 1; N <= k - 1; ++N)
                C[i][k][DOWN] += C[i - 1][N][UP];
        }
}

void Print(int n, long long c)
{
    long long skipped = 0;
    int seq[maxn], used[maxn];
    memset(used, 0, sizeof(used));
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        long long oldVal = skipped;
        int k, No = 0;
        for(k = 1; k <= n; ++k)
        {
            oldVal = skipped;
            if(!used[k])
            {
                ++No;
                if(i == 1)
                    skipped += C[n][No][UP] + C[n][No][DOWN];
                else
                {
                    if(k > seq[i - 1] && (i == 2 || seq[i - 2] > seq[i - 1]))
                        skipped += C[n - i + 1][No][DOWN];
                    else if(k < seq[i - 1] && (i == 2 || seq[i - 2] < seq[i - 1]))
                        skipped += C[n - i + 1][No][UP];
                }
                if(skipped >= c)
                    break;
            }
        }
        used[k] = 1;
        seq[i] = k;
        skipped = oldVal;
    }

    for(int i = 1; i < n; ++i)    printf("%d ", seq[i]);
    printf("%d
", seq[n]);
}

int main(void)
{
    #ifdef LOCAL
        freopen("1037in.txt", "r", stdin);
    #endif

    int T, n;
    long long c;
    Init(20);
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d %lld", &n, &c);
        Print(n, c);
    }
    return 0;
}