宝石装箱 容斥+dp

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题目:

• 有n个宝石和n个箱子，每个箱子只能放一个宝石且第i个宝石不能放在a[i]箱子中，问合适的放法数量，mod 998244353;

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题解：

总数减去不合法排列的数量就是要的答案。 计算不合法排列数量时容易明白需要用到容斥的做法。得到公式: (res = n! - sum_{i = 1}^{n} (-1)^{i - 1} * f[i]) 其中f[i]是有i个箱子放宝石不合法的排列量。所以问题变为计算f[i];

num[i]表示有num[i]个宝石不能放在i号箱子。dp[i][j]表示前i个箱子中j个箱子不合法的数量。那么有 (f[i] = (n-i)! * dp[n][i])，问题变成计算dp。

dp的转移： (dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1] * num[j])
最后用容斥的式子计算就可以了。

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#include<vector>
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#include<fstream>
using namespace std;
#define rep(i, a, n) for(int i = a; i <= n; ++ i);
#define per(i, a, n) for(int i = n; i >= a; -- i);
typedef long long ll;
const int N = 1e4 + 105;
const ll mod = 998244353;
const double Pi = acos(- 1.0);
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int G = 3, Gi = 332748118;
ll qpow(ll a, ll b) { ll res = 1; while(b){ if(b & 1) res = (res * a) % mod; a = (a * a) % mod; b >>= 1;} return res; }
ll gcd(ll a, ll b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
//
 
ll n;
ll num[N], dp[N], fac[N];
 
 
int main()
{
    fac[0] = 1;
    scanf("%lld",&n);
    for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
        ll x; scanf("%lld",&x);
        num[x] ++;
        fac[i] = 1ll * i * fac[i - 1] % mod;
    }
    dp[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        if(!num[i]) continue;
        for(int j = i; j >= 1; -- j){
            dp[j] = (dp[j] + dp[j - 1] * num[i] % mod) % mod;
        }
    }
     
    ll res = fac[n];
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        if(i & 1) res = (res - fac[n - i] * dp[i] % mod + mod) % mod;
        else res = (res + fac[n - i] * dp[i] % mod) % mod;
    }
    printf("%lld", res);
    return 0;
}