第七章 公钥密钥体制

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第七章 公钥密钥体制

公钥密码体制概述

• 对称密码体制的局限性：
  • 密钥分发问题
  • 密钥管理问题
  • 数字签名问题
• 公钥加密体制的思想
  • 公钥和私钥
  • 基于陷门单向函数的困难问题
• 公钥密码体制的分类

公钥加密体制介绍

ElGamal	应用	1.加密；2.数字签名
	密钥生成	随机选择一个满足安全要求的1024位的大素数p，并生成有限域Zp的一个生成元g∈Zp*； 选择一个随机数x(1<x<p-1)，计算y≡gx(mod p),则公钥为(y,g,p)，私钥为Sk=x。                           （随机数的选取可以使同一明文在不同时间加密成不同密文）
	加解密算法	加密过程：将明文分组比特串分组，是分组长度小于log2p,，然后对每个明文分组分别加密 得到公钥Pk（y,g,p）； 消息m分组m1m2m3m4······ 对第i块消息随机选择整数ri(1<ri<p-1); 计算ci≡gri(mod p),ci'≡miyri(mod p)(1≤i≤t) 将密文C=(c1,c1')()()()····发送给接收方  （可知，密文是明文长度的2倍） 解密过程 接收方接收密文C 使用密钥x和解密算法mi≡(ci'/cix)(mod p)(1≤i≤t)进行计算 得到明文 正确性
	安全性分析	穷举法和列表法（二分查找算法） O（p） 小步大步算法 来源于生日攻击的思想， 小步为 序列1：g1,···,gj,···,gm(1≤j≤m) 大步为 序列2：y,y*g-m,···，y*g-im 找到gj≡y*g-im(mod p),即找到y=gj+im(mod p),即x=j+im私钥被找到 时间复杂度：O(p1/2) 3.指数积分法  选取因子基S 建构同余方程组：对若干随机整数k(0≤k≤p)，计算gk，尝试将gk写成S中的元素幂次的乘积，即gk=∏piei(mod p),式子两边取离散对数k≡∑eilogg(pi)(mod (p-1)),重复这个过程，直到有超过m个方程 求logg(pi) 计算x:随机取整数r，计算ygrmod p，使得其值可表示为S中元素幂次的乘积，即ygr=∏pidi(mod p),取离散对数可得x≡logg(y)≡-r+∑dilogg(pi)(mod (p-1)),如果成功，即求得此解x。
MH背包公钥加密体制	难题来源	背包问题：∑aixi=b，这是一个NP完全类问题 特例：超递增序列（每一个元素都比先前的元素和大） 可将背包问题转化为P类问题
	公私钥对的生成	选取素数p 和u，且bi为超递增序列 利用uv=1（mod p）可求得v a=ubk(mod p) {ai}和p作为公钥，{bi}和v作为私钥
	加密和解密	明文消息分组 密文c=a1m1+···+anmn 利用{bi}求v c的解，可得消息m
	安全性分析	NP类问题，至今没有好的求解方法，能经受住穷举攻击 隐蔽性不够，此公钥密码是不安全的
	地位	第一个公钥算法
RSA公钥密码	理论基础	数论中的欧拉定理，安全性依赖于大整数的素因子分解的困难性 欧拉定理：若a和n互素，则aΦ(n)≡1(mod n)
	密钥生成算法 加密和解密	（1）生成公私密钥 选取两个大素数p和q，至少要1024位 计算n=p*q 随机选取整数e在(1≤e≤Φ(n))作为公钥，要求满足gcd(e,Φ(n))=1 用Euclid扩展算法计算私钥d，满足d*e≡1(mod Φ(n)),则e和n是公钥，d是私钥 （3）明文加密  　c=E(m)=me(mod n) （4）密文解密。    m=D(c)=cd(mod n)
	安全性	1.算法正确性的证明 2.攻击 针对n分解的攻击 试除法 因子分解分析法：二次筛因子分析法 侧信道攻击            2.针对算法参数的攻击                        1.对素数p和q选取时的限制；p和q长度相差不大，大小相差要大，否则难以抵御除法的攻击；p-1和q-1都应有大的素因子。                        2.共模攻击（因此不同用户不用使用相同的p和q）                        3.低指数攻击
椭圆曲线公钥加密体制	椭圆曲线	韦尔斯特拉方程 ：E:y²+axy+by=x³+cx²+dx+e。密码学中，常采用的椭圆曲线为： E:y²=x³+ax+b，并要求4a³+27b²≠0 Hasse定理：如果E是有限域GF(p)上的椭圆曲线，N是E上的点(x,y)（其中x,yξGF(p)）的个数，则：|N-(p+1)|≤2(p)½ 椭圆曲线上的点集合Ep（a,b）对于如下定义的加法规则构成一个Abel群： O+O=O;(O是单位元) 椭圆上的点P，P+O=P； P的逆元是-P； 满足交换律 满足结合律 点乘规则： 如果k为整数，kP=P+···+P    （k个P相加） 如果s和t为整数，(s+t)P=sP+tP,s(tP)=t(sP) 椭圆曲线点的计算：
	ECC密钥生成算法	选择一个椭圆曲线E，构造一个椭圆群Ep(a,b)。  在椭圆群中挑选生成元点G=(x0,y0),需满足nG=O的最小的n是一个非常大的素数。 选择一个小于n的整数nB作为私钥，然后利用PB=nBG算出PB。        公钥为(E,n,G,PB)，私钥为nB。
	加密过程	A将明文消息编码成一个数m<p,并在椭圆群Ep(a,b)中任选一点Pt=(xt,yt); 在区间[1,n-1]内，A选取一个随机数k，计算P1：P1=(x1,y1)=kG; 依据接收方B的公钥PB，A计算点P2：P2=(x2,y2)=kPB； A计算密文C=mxt+yt; A传送加密数据Cm={kG,Pt+kPB,C}给接收方B。
	解密过程	接收方B收到Cm; B使用私钥nB做运算：Pt+kPB-nB(kG)=Pt+k(nBG)-nB(kG)=Pt; B计算m=(C-yt)/xt,得明文m。
	安全性和优势	安全性基于椭圆曲线上的离散对数问题
		应用前景好，尤其是在移动通信和无线设备上的应用，计算量小，处理速度快，存储空间占用小，带宽要求低。
		160位的ECC密钥和1024位的RSA和1024位的ElGamal的安全性等同。
		可用于加密、数字签名。
		未申请专利
Rabin公钥加密体制	前言（学习意义）	具有很好的参考价值
	特点	不是以一一对应的陷门单向函数为基础，同一密文可能有多种明文；
		破译该体制等价于对大整数的因子分解。
	密钥生成算法	随机选取两个大素数p和q，并且p≡q≡3mod4，将p和q作为私钥，n=pq作为公钥
	加密算法	设明文块为m(m<n)，运用公式c=m²modn 进行加密，c为密文。
	解密算法