【微积分】第二讲 一元函数微分学

第二讲 一元函数微分学

一、导数定义

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

• 导数存在的充要条件

\[f'(x) \,\exists \iff f'_-(x_0) = f'_+(x_0) \]

左导数 \(f'_-(x_0) - \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 +\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)
右导数 \(f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 +\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)

• 插值形式

  \[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]

• \(\Delta x\) 的广义化

  \[f'(x_0) = \lim_{狗 \to 0} \frac{f(x_0 +狗) - f(x_0)}{狗} \]

• 一静一动原则
  例如 \(\lim_{2\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0 - \Delta x)}{2\Delta x} \ne f'(x_0)\) （不成立）

二、基本求导公式

• \((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}\)
  \((a^x)' = a^x \ln{a}\)
  \((e^x)' = e^x \ln{e} = e^x\)
• \((\ln{x})' = \frac{1}{x}\)
• \((\sin{x})' = \cos{x}\)
  \((\cos{x})' = - \sin{x}\)
• \((\tan{x})' = \sec^2{x}\)
  \((cot{x})' = -\csc^2{x}\)
• \((\sec{x})' = \sec{x} \tan{x}\)
  \((\csc{x})' = -\csc{x} \cot{x}\)
• \((\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
  \((\arccos{x})' = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
• \((\arctan{x})' = \frac{1}{1+x^2}\)
  \((\arccot{x})' = -\frac{1}{1+x^2}\)
• \([\ln{(x + \sqrt{x^2+1})}]' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)
  \([\ln{(x + \sqrt{x^2-1})}]' = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)

三、基本求导方法

3.1 复合函数求导

\[\{f[g(x)]\}' = f'[g(x)] g'(x) \]

3.2 隐函数求导

\(F(x,y) = 0\)

3.3 对数求导

对于多项相乘、多项相除、开方、乘方的式子，先取对数，再求导
\((\ln{|u|})'_x = \frac{1}{u} \cdot u'\)

3.4 反函数求导

3.5 参数方程求导

3.6 高阶导数

四、中值定理

4.1 定理总结

4.1.1 涉及 \(f(x)\) 的定理

设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则

1. 有界性定理

\[\exists K \gt 0 ,\, |f(x)| \le K ,\, \forall x \in[a,b] \]

2. 最值定理

\[m \le f(x) \le M ,\, m = \min{f(x)} ,\, M = \max{f(x)} ,\, \forall x \in [a,b] \]

3. 介值定理
   若 \(m \le \mu \le M\)，则 \(\exists \xi \in [a,b]\)，使 \(f(\xi) = \mu\)
4. 零点定理
   若 \(f(a) \cdot f(b) \lt 0\)，则 \(\exists \xi \in (a,b)\)，使 \(f(\xi) = 0\)

4.1.2 涉及 \(f'(x)\) 的定理

1. 费马定理
   若 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处可导且能取极值，则 \(f'(x_0) = 0\)

2. 罗尔定理
   若 \(f(x)\) 满足以下三个条件：

   • 在 \([a,b]\) 上连续
   • 在 \((a,b)\) 内可导
   • \(f(a) = f(b)\)

则 \(\exists \xi \in (a,b)\)，使 \(f'(\xi) = 0\)

3. 拉格朗日中值定理
   若 \(f(x)\) 满足以下两个条件：
   • 在 \([a,b]\) 上连续
   • 在 \((a,b)\) 内可导

则 \(\exists \xi \in (a,b)\)，使 \(f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

（罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例）

4. 柯西中值定理
   设 \(f(x)\)和 \(g(x)\) 满足条件：
   • 在 \([a,b]\) 上连续
   • 在 \((a,b)\) 内可导
   • \(g'(x) \ne 0\)

则 \(\exists \xi \in (a,b)\)，使 \(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)

• 若 \(g(x) = x\)，则 \(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{1}\)，即拉格朗日中值定理
• 柯西 > 拉格朗日 > 罗尔

5. 泰勒公式
   任何可导函数 \(f(x) = \sum a_n x^n\)
   • 带拉格朗日余项的Taylor公式
     \[f(x) = f(x_0) + f'(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} ,\, \xi \in(x,x_0) \]

     如：若 $f(x)$ 三阶可导，则
     $f(x) = f(x_0) + f'(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f'''(\xi)}{3!}(x-x_0)^3$
     其中，当 $x_0 = 0$ 时，则得到**麦克劳林公式**
     $f(x) = f(0) +f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(\xi)}{3!}x^3 ,\, \xi \in (x,0)$
     

   • 带佩亚诺余项的Taylor公式（\(f(x)\) n阶可导）
     \[f(x) = f(x_0) + f'(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o[(x-x_0)^n] \]

     如：当 $f(x)$ 三阶可导时，
     $f(x) = f(x_0) + f'(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + o[(x-x_0)^3]$
     其中，若 $x_0 - 0$，则得到**麦克劳林公式**
     $f(x) = f(0) +f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + o(x^3)$
     

   • 常用麦克劳林公式

     • \[e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + ... + \frac{1}{n!}x^n + o(x^n) \]

     • \[\ln{(1+x)} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... + (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} + o(x^{n+1}) \]

     • \[\sin{x} = x - \frac{1}{3!}x^3 + ... + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1}) \]
       \(\sin{x} = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)\)

     • \[\cos{x} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ... + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n}) \]

     • \[(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + ... + \frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha -n+1)}{n!} x^n + o(x^n) \]

     • \[\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + ... + x^n + o(x^n) \]

     • \[\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - ... + (-1)^n x^n + o(x^n) \]

4.2 五大方面的应用

1. 涉及 \(f(x)\) 的应用

2. 罗尔定理的应用
   \(F(a) = F(b) \Rightarrow F'(\xi) = 0\)

   • 构造辅助函数 \(F(x)\)
     • 求导公式 \((u \cdot v)' = u'v+uv'\) 逆用
       • 见 \(F'(\xi)=f'(\xi)\cdot \xi+f(\xi)=0\)，构造 \(F(x)=f(x)x\)
       • 见 \(F'(\xi)=[f'(\xi)+f(\xi)]e^{\xi}=0\)，构造 \(F(x)=f(x) e^x\)
       • 见 \(F'(\xi)=[f'(\xi)+f(\xi) \varphi'(\xi)] e^{\varphi(\xi)}=0\)，构造 \(F(x)=f(x) e^{\varphi(x)}\)
       • 见 \(F'(\xi)=f''(x)+g(x)f'(x)=0\),构造 \(F(x)=f'(x) e^{\int g(x)\text{d}x}\)
       • 见 \(F'(\xi)=f(x)+g(x) \int_0^x f(t)\text{d}t =0\)，构造 \(F(x)=\int_0^x f(t)\text{d}t \cdot e^{\int g(x) \text{d}x}\)
       • 见 \(F'(\xi)=f'(x)+g(x)[f(x)-1]=0\)，构造 \(F(x)=[f(x)-1] \cdot e^{\int g(x)\text{d}x}\)
     • 积分还原法
       1. 将欲证结论中的 \(\xi\) 改为 \(x\)
       2. 积分之（为了简单，令 \(c=0\)）
       3. 移项使等式一端为0，另一端记为 \(F(x)\)

3. 拉氏中值定理的应用
   \(f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) 或 \(f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)\)
   命题角度：

   • 将 \(f\) 复杂化（构造 \(F(x)\)）
   • 给出相对高阶条件，证低阶不等式
   • 给出相对低阶条件，证高阶不等式
   • 具体化函数 \(f\)

4. 柯西中值定理的应用
   \(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} ,\, \frac{f-抽象}{g-具体}\)

   • 双中值（\(\zeta ,\, \eta\)），有可能相等？
     1. 无 \(\zeta \ne \eta\) 要求：在同一区间 \([a,b]\) 上用两次中值定理
     2. 有 \(\zeta \ne \eta\) 要求：将区间 \([a,b]\) 分为 \([a,c]\) 和 \([c,b]\)

5. 泰勒公式的应用
   展开成高阶

五、导数的几何应用

5.1 极值与单调性

• 极值定义

  • 广义极值
    存在 \(x_0\) 的某个邻域，\(\forall x \in U(x_0,\delta) ,\, f(x) \le f(x_0)\)，则称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的广义极大值点
  • 严格极值
    存在 \(x_0\) 的某个去心邻域，\(\forall x \in \mathring{U}(x_0,\delta) ,\, f(x) \lt f(x_0)\)，则称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的严格极大值点

• 单调性与极值判别

  • 判法一：
    若 \(f'(x) \gt 0 ,\, \forall x \in I\)，则 \(f(x)\)递增
  • 判法二：
    若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，在 \(\mathring{U}(x_0,\delta)\) 内可导，
    1. 在 \((x_0-\delta,x_0)\) 内 \(f'(x) \lt 0\)，在 \((x_0,x_0+\delta)\) 内 \(f'(x) \gt 0\)，则有极小值
    2. 在 \((x_0-\delta,x_0)\) 内 \(f'(x) \gt 0\)，在 \((x_0,x_0+\delta)\) 内 \(f'(x) \lt 0\)，则有极大值
  • 判法三：
    若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处二阶可导，\(f'(x_0)=0\)，\(f''(x_0) \ne 0\)
    1. \(f''(x) \gt 0\)，极小
    2. \(f''(x) \lt 0\)，极大

    > 证：
    > 泰勒展开，得 $f(x) = f(x_0) +f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2} (x-x_0)^2 + o[(x-x_0)^2]$
    > 因 $f'(x_0) = 0$，$f''(x_0) \gt 0$
    > 故 $f(x) - f(x_0) = \frac{f''(x_0)}{2} (x-x_0)^2 + o[(x-x_0)^2] \gt 0$
    > $x=x_0$ 处取极大值
    

5.2 凹凸性与拐点

• 凹凸性
  \(\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \gt f(\frac{x_1+x_2}{2}) \iff\) 凹
  \(\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \lt f(\frac{x_1+x_2}{2}) \iff\) 凸

  • 判别方法
    设 \(f(x)\) 在 \(D\) 上二阶可导
    • 若 \(f''(x) \gt 0 ,\, \forall x \in D\)，则 \(f(x)\) 凹
    • 若 \(f''(x) \lt 0 ,\, \forall x \in D\)，则 \(f(x)\) 凸

• 拐点
  连续曲线凹凸弧的连接点（分界点）

  • 判别方法
    1. 设 \(f(x)\) 在 \(D\) 上二阶可导
       若 \(f‘’(x)\) 在 \(x_0\) 点的左右邻域内变号，则 \((x_0,f(x_0))\)是拐点
    2. 设 \(f(x)\) 在 \(D\) 上三阶可导
       若 \(f''(x_0) = 0\)，\(f'''(x_0) \ne 0\)，则 \((x_0,f(x_0))\)是拐点

• 渐近线

  • 铅锤渐近线
    若 \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \infty\) 或\(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \infty\)
    则 \(x = x_0\) 为铅锤渐近线
    （一般出现在：无定义点或区间端点）
  • 水平渐近线
    若 \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = A\) 或 \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = A\)
    则 \(y=A\) 为水平渐近线
  • 斜渐近线
    若 \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a \ne 0\)，且 \(\lim_{x \to \pm \infty} |f(x)-ax| = b\) 存在，
    则 \(y = ax+b\) 是 \(f(x)\) 的一条斜渐近线

• 最值

  • 闭区间 \([a,b]\) 上连续函数 \(f(x)\) 的最值
    1. 求 \(f'x)=0\)（驻点）、\(f'(x)\)不存在（不可导点）、\(f(a)\)和\(f(b)\)（端点）
    2. 比较以上所求得的函数值，得
       最大值 \(\max(f(x_0),f(x_1),f(a),f(b)\)，
       最小值 \(\max(f(x_0),f(x_1),f(a),f(b)\)
  • 开区间 \((a,b)\)
    记 \(\lim_{x \to a^+} f(x) = A\)，\(\lim_{x \to b^-} f(x) = B\)
    比较 驻点、不可导点和A、B的值

六、逻辑（证明）

6.1 中值定理

• 研究对象的复杂化
• 区间的复杂化

6.2 方程的根 \(f(x)=0\)

• 存在性
  1. 零点定理 \(f(a)f(b) \lt 0 \iff f(\xi)=0\)
  2. 罗尔定理 \(f'(\xi)=0\)
• 唯一性
  • 单调性
  • 罗尔定理：
    若 \(f'(x)=0\) 至多0个根，则 \(f(x)=0\) 至多1个根
    若 \(f^{(n)}(x)=0\) 至多k个根，则 \(f^{(n-1)}(x)=0\) 至多 \(k+1\) 个根

七、微分

• 真实增量 \(\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)
• 线性增量 \(A \Delta x = f'(x_0) \Delta x\)
• 使 \(\Delta y - A \Delta x = o(\Delta x)\)（即真实增量与线性增量之差远小于\(\Delta x\)）
  则 \(f(x)\) 在 \(x_0\)处可微，\(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = A = f;(x_0)\)
• \(\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)\)（增量=线性主部+误差）
  \(\mathrm{d}y = A \Delta x = y'(x_0) \Delta x = A \mathrm{d}x\)
• 可导：该店处的瞬时变化率存在
• 可微：\(\Delta x \to 0\)时，可用直线代替曲线